导数的应用—函数中恒成立、若存在问题中参数范围的研究(答案)

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1、K专题73导数的应用一函数中恒成立、若存在问题中参数范围的研究以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题小的参数的范围.解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范其至模式化、简单的问题.解决的主要途径：(1)利用“参变分离法”，将含参数不等式的存在性或恒成立问题转化为a>Fmin(x)或a»(兀)或

2、a5Fmin(x)或aW(x)结构形式，利用导数在求解函数最值的优越性，从而轻松、简捷地解决相应问题；(2)将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为含参函数的最值讨论.一、利用参变分离法求参数的取值范围[典例1]已知函数fM=x2In(祇)(a>0)・(1)a=e时，求/(尢)在兀=1处的切线方程；(2)若广(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(3)当0=1时，设函数g(x)=/"兀),若兀]，兀2G(丄，1)，兀1+兀。V1，求证：兀宀V(X]+屁)

3、4xe•试题解析：(I)f(x)=x2ln(^x)=W(1+Inx):fx)=2x(1+Inx)+x=3x+2xlnx，/(l)=15/'(1)=3，所以切线为：y-l=3(x-l)即y=3x-2・3分(II)/*(x)-2xln(aY)-x,/((x)=2xln(ar)-x即21nav-lSx在x>0上恒成立设iz(x)=21naY-l-x,u,(x)=—-l=05x=2»x>2时，单调减，xv2单调増，x所以x=2时，"(x)有最大值.u(2)<021n2^-l<2,所以OvaS返.8分2、『V—1

4、法二、2Inar+1Wx可化为Ina<—Inx-■令g(功=-—lnx，则g'(x)=三-—=°，所以g(x)=一—Inx>g(2)=丄—ln2=ln22x2x222所以Ina0g(x1)=x1lnx1e即血忑<兀_比垣兀-4),同理lnt<耳—孔诚召_x“)•xi''孔’所

5、■以lnX]—lnxr<(—一一)ln(£—x“)=(2—二-一二-)ln(X]-xj亠x?X]'x2Xj*又因为2-二-匕王屯当且仅当“X]=x「时，取等号.X2禺•又e(—:l)sXj-Xrvl，ln(xj-x^)<0,•*e・■所以(2-卫一主)InOq-Jt2)<41n(.Y1一孔)，所以lnX]-lnx2<4in(x1-x2)>X2X1所以，X]X】<(X]-七)4・14分［典例2］已知函数/（x）=（l+x）2-aln（l+x）2a（-2,-1）上是增函数，（--,-2）上是减函数.（1）求函数/⑴的

6、解析式；（2）若xe［--1,e-i］时，/（x）即

7、F(x)=x-ln(l+x)2+l-i»x€[0,2].XF（x）=l-—=—^令F（x）>0,得l00[典例3]已知函数/(兀)=(2-6z)lnx+—+2ax(a<0).（1）当Q=0时，求/（无）的极值；（2）当dVO时，讨论/（兀）的单调性;（3）若对任意的（

8、一3,-2）,兀“2w［1,3］,恒有（加+ln3）o—21n3>

9、/（xJ—/（兀）

10、成立，求实数加的取值范圉.试题解析:(1)当a=0时'f(X)=2Inx+—?y(x)=——-A-X、‘XX*由ff(x)=亠x*1>0，解得x>—••••«r(x)在;0"*上是减函数，在上是増函数.A/(x)的极小值为2—21n2，无根大值.1f2^zx*+(2—a]x—1—+2a