用导数研究函数的恒成立与存在性问题答案.docx

《用导数研究函数的恒成立与存在性问题答案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、用导数研究函数的恒成立与存在问题1．已知函数f(x)3x2x2lnx，其中a为常数．.（1）若aa1，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．2.已知函数f(x)x3ax24(aR)，f'(x)是f(x)的导函数。（1））当a2时，对于任意的m[1,1]，n[1,1]，求f(m)f(n)的最小值；（2））若存在x0(0,)，使f(x0)＞0，求a的取值范围。Word文档.2.已知函数f(x)axlnx(aR).（1）若a2，求曲线yf(x)在点x1处的切线方程；（2）求f(x)的单调区

2、间；（3）设g(x)x22x1，若对任意x1(0,)，均存在x20,1，使得f(x1)g(x2)，求实数a的取值范围..4．（2016届惠州二模）已知函数fxx22lnx．（Ⅰ）求函数fx的最大值；（Ⅱ）若函数fx与gxx①求实数a的值；a有相同极值点．x②对x1,x21,3e(e为自然对数的底数)，不等式fx1kgx211恒成立，求实数k的取值范围．.5.已知函数f(x)(a1)x22lnx(aR)．（1））当a1时，x0[1,e]使不等式f(x0)m，求实数m的取值范围；（2））若在区间(1,)，函数f(x)的图象恒在直线y2ax的下

3、方，求实数a的取值范围．用导数研究函数的恒成立与存在问题答案21．解：(1)若a＝1，则f(x)＝3x－2x＋lnx，定义域为(0，＋∞)，21f′(x)＝x－4x＋3＝－4x＋3x＋1x＝－4x＋1x－1x(x＞0)．2当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，函数f(x)＝3x－2x＋lnx单调递增．2当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)＝3x－2x＋lnx单调递减，即f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)．(2)f′(x)＝31－4x＋.ax若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，3即在[1,2]上，f′(x)＝a－4x＋1≥0或f

4、′(x)＝3－4x＋1≤0，xax3131即－4x＋a≥0或x－4x＋a≤0在[1,2]上恒成立．x31即≥4x－或ax31≤4x－.ax1令h(x)＝4x－x，因为函数h(x)在[1,2]上单调递增，3所以a≥h(2)或3≤h(1)，即a2315a≥23或≤3，a解得a＜0或0＜a≤或a≥1.52故a的取值范围是(－∞，0)∪(0，5]∪[1，＋∞)．2.解：（1）由题意知f(x)x32x24,f'(x)3x24x.令f'(x)0,得x0或4.3当x在[-1，1]上变化时，f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：x-1（-1，0）0（0，1

5、）1f'(x)-7-0+1f(x)对于m-1↓[1,1],f(m)的最小值为f(0)4,-4↑-3f'(x)3x24x的对称轴为x2且抛物线开口向下,3，对于n[1,1],f'(n)的最小值为f'(1)7.f(m)f'(n)的最小值为-11.（2）f'(x)3x(x2a)3.①若a0,当x0时,f'(x)0,f(x)在0,上单调递减，又f(0)4,则当x0时,f(x)4.当a0时,不存在x02a0,使f(x0)0.2a②若a0,则当0x时,f'(x)30,当x时,f'(x)0.3从而f(x)在0,23上单调递增，在2a,3上单调递减

6、，当x(0,)时，f(x)maxf(2a)38a3274a394，则4a32740,即a327,解得a3.综上，a的取值范围是(3,).(或由x00,f(x0)0,得a4x20,用两种方法可解)x03.解：（1）由已知f(x)21(xx0)，f(1)213，故曲线yf(x)在x1处切线的斜率为3而f(1)2，所以切点为(1,2)，yf(x)在点x1处的切线方程为y3x1（2）f1(x)aax1(x0)xx①当a0时，由于x0，故ax10，所以f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0,).②当a0时，由f(x)

7、0，得x1.在区间(0,1)上，f(x)0，在区间(1,)上f(x)0，aaa所以，函数的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(a1,).a（3）由已知，问题等价于为f(x)maxg(x)max.其中g(x)max2由(2)知，当a0时，f(x)在(0,)上单调递增，值域为R，故不符合题意.(或者举出反例：存在f(e3)ae332，故不符合题意.)当a0时，f(x)在(0,0)上单调递增，在(a1,)上单调递减，a11故f(x)的极大值即为最大值，f()1ln