赋值法解答抽象函数的赋值

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1、赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x2，y=x1或y=，且x1

2、定义在(﹣1,1)上的函数f(x),对任意的x,y∈(﹣1,1)都有f(x)+f(y)=f().求证：f(x)是奇函数.解析：在f(x)+f(y)=f()中，令x=y=0有f(0)+f(0)=f(0)，∴f(0)=0，又令y=﹣x.有f(x)+f(﹣x)=f(0)=0，即f(x)+f(﹣x)=0，∴f(x)是奇函数.例2已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x+1)=，(f(x)≠0，1)，若f(1)=2，求f(2002)的值.解析：在f(x+1)=中，将x换为x+1有，f(x+2)===﹣，从而f(x+4

3、)=﹣=﹣=f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，故f(2002)=f(4×500+2)=f(2)==﹣3.例3已知定义域为(0，+∞)的函数f(x)，对于任意的x>0、y>0时，恒有f(xy)=f(x)+f(y).(1)求证：当x>0时，f()=﹣f(x)；(2)若x>1时恒有f(x)<0，求证：f(x)必有反函数；解析：(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，得f(1)=0，又令y=，得f(x)+f()=f(x·)=13f(1)=0，∴当x>0时，f()=﹣f(x)；(2)设x1>

4、0、x2>0且x11，∴f()<0，又在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=x2，y=，∴f(x2·)=f(x2)+f().由(1)得，f()=﹣f(x1)，∴f()=f(x2)﹣f(x1)<0，∴f(x2)0时，f(x)>0.试判断f(x)的奇偶性和单调性.解：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0)+f(0)=0，

5、∴f(0)=0，又令y=﹣x，f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0，即f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函数，再设x1、x2∈R，且x10，∴f(x2-x1)>0，从而f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(-∞.+∞)上是增函数.例5设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于

6、直线x=1对称，对任意x,y∈[0,],都有f(x+y)=f(x)·f(y)，且f(1)=a>0，(1)求f()、f()；(2)证明：f(x)是周期函数；(3)记an=f(2n+)，求(lnan).解析：：(1)在f(x+y)=f(x)·f(y)中，将x、y均换为，f(+)=f()·f()=f2()≥0，即f(x)=f2()≥0，x∈[0,1]，又x、y均换为，∴f(+)=f()·f()=f2()，由已知f2()=f(1)=a，所以，f()=a，同理f()=a.(2)由于函数f(x)的图象关于直线x=1对称

7、，∴f(1－x)=f(x+1)，∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x－1)=f(x+1)，将x换为x+1得，f(x)=f(x+2)，∴f(x)是以2为周期的周期函数；(3)略.13抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1.已知函数的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f（x）的定义域是［1

8、，4］评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。例2.已知函数的定义域是，求函数的定义域。解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。例