例谈构造函数之导数应用.pdf

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1、g(xo)成立，即使m(c，)>1．只需(42)>1，即>1，所以“>．构造函数蛰彝罢，募篓蛐符号必3连续构造·导数应用例3当z>一1时，证明In2(1+)≤．证明令_厂()一ln(1+)一，则函数厂(z)◇河北宁芳的定义域是(一1，+oo)，代数问题中有许多涉及的代数式比较复杂，新增沪一鲁一导数知识之后，为这些问题的解决增添了新的活力，许多问题可借助恰当的构造函数，然后利用导数知识(1+38)’处理，使问题迎刃而解．下面举例说明如何构造函数，设g()一2(1+)ln(1十)一5C一2，g()一供参考．21n(1+z)

2、一2，令h()一21n(1+z)一2，则1作差构造^(z)一雨2—2一雨-2x．例l求证：当z>1时，lnz>与．当一l一1时，h()≤h(0)一0，即因为x>l，所以f()>0，厂(z)在(1，+oo)上为增g(z)≤O，函数g()在(一1，+c×3)上为减函数．函数．所以_，’()在[1，+。。

3、)上为增函数，所以当z>l于是当一1<<0时，g()>g(0)一0，当>0)>)一O'目>．时，g(z)0，_厂(,27)在彝釜(一1，0)上为增函数；当z>0时，f(z)<0，-厂()在这样就能利用导数工具处理比较大小这类复杂的函(0，+。。)上为减函数，故函数f(-z)的单调递增区间数问题．为(一1，0)，单调递减区间为(0，+C×3)，故f⋯()一2作商构造厂(0)一o，即一厂(z)≤o，故In(1+z)≤l[_二．．’下■，’例2已知函数f(32)一ax+2ax

4、，g(z)一e(n>0)，若在(0，+。。)上至少存在一点．72。，使得-厂彝盖募塞(。)>g(。)成立，求实数n的取值范围．导数处理，这在比较复杂的问题中是常用的手段．析c测4局部构造()一(一n+2a)e一．例侈04已知f()一=l一，判0断f()在当>时，Ⅲ(z)<0；(0，+。C)上的单调性．当o<<~／时，()>o．因为f(x)==，所以析所以，，z()在一√时取得极大值，同时也为最一z一(．r+1)In(+1)v／2_，(_)=——L干十l，一，大值，即Ⅲ⋯()一()：—2a—q-2a一；『．至此既无法求出

5、极值点，也无法判断．，()的符号，故要在(0，+。。)上至少存在一点。，覆得-厂(。)>考虑构造函数g()=一(+1)In(+1)，由人之心胸，多欲则窄。寡欲则宽也lg(z)===一ln(x+1)得，当E(一1，0)时，g(1z)>0，～l2n+45≤()2-8n+l2≤0，2≤≤6．g(z)在(一1，0)上单调递增；故mnp一厂()一(一12n+45)，2一。一12n+当z=0时，g(z)===0；当．27E(0，+CXD)时，45n(2≤≤6)，求导得f(”)一3n。一24n+45—3(，2—g()<0，所以g()

6、在(0，+C×3)单调递减，所以3)(～5)，令，()一0得一3或”一5．g(z)0；+。。))，故(z)在(O，+C×3)单调递减．当3<<5时，f()O．毒言拿纂喜萎喜于是函数的最大值为f⋯()一max{f(3)，符号的判别，手法特别，值得借鉴．_厂(6))一54，易知当m===3，一6，P一3或m一6，一3，5分离参数后构造P一6或m一3，n===3，P===6时，mnp取得最大值54．函数的最小值f⋯(n)一m

7、in{-厂(2)，，(5)}一50，例5已知函数厂()一三±(>o)-例已知函数-厂()一(>o)，若易知当m一2，一5，P一5或一5，Tl一2，P一5或m一5，，z一5，P一2时，mnp取得最小值5O．当>0时，f(z)>恒成立，求正整数k的最大值．彝辜粟析当z>O时，厂()>k恒成立，即处理了，体现了函数方程思想与转化化归思想．7转化构造三>是恒成立，设九()一，’IE例7已知函数厂(z)一÷。一昔4-4x，当∈剑，只／、需rn了ITIIn(＼z山)／>／／g,即¨可r，而JIIJ[一2，2]时，函数一厂()的图象

8、在直线5+2—f—矗，(z)一二二二_(z>o)，令()z一1一o的下方，求实数c的取值范围．析由题意知z)<一专(5．z．-c∈[ln(x+1)，则(z)一南>o，所以(z)在(0，+。。)23)恒成立，即寺。一号+4z<一寺(5x-f)(zE上递增．因为(2)一1一In30，所[～2，2])恒成立，