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时间:2020-03-15
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1、例谈“常值换元”法解题李晓渊所谓“常值换元”,就是用字母代替题目中的已知数值。对某些题目,利用这种“常值换元”法来求解,往往能化繁为简、巧妙获解。一、利用“常值换元”法化简与求值例1.计算。简析:因题中涉及的某些已知数较大,直接计算不仅运算量大,而且书写起来也很麻烦。为此,令,于是原式,分子和分母都很容易分解因式,约去因式后,原式。(解答略)二、利用“常值换元”法分解因式例2.分解因式。简析:本题常规解法是将原式乘开并合并整理成x的三次式后再分解,这样做反而把原有的规律给破坏,分解起来会感困难,此题有何特点呢?,后者比前者多1;而6、7、8,后者也比前者多1。若
2、将常数6反用字母(a+1)来代替,则原式为,相减的两式结构完全一样,乘开后即为,这样就可提出公因式,继而原式可分解为。(解答略)例3.分解因式。简析:对高次多项式分解因式,常常是先找有理根,再利用因式定理来分解,或直接进行分组分解等。但此题中,它既无有理根,也一时不知如何分组好,怎么办?再次观察原式,发现系数中有两个1999、一个1998,若置,则原式,一眼便知,此式就是,从而原式可分解为。(解答略)三、利用“常值换元”法解方程例4.解方程。简析:这是一个关于x的一元三次方程,若采取因式分解法求解,一时真不知道如何分解;若利用三次方程的求根公式来求解,显然十分繁
3、琐,况且考纲也没有要求中学生掌握三次方程的求根公式。怎么办?我们仔细观察原方程的系数,发现与2累次出现,如果把用a表示,则原方程就是=0,由于x不为0,此方程可整理成关于a的一元二次方程:。利用二次方程求根公式不难解得,于是有或,从而可求出原方程的根为。(解答略)注:①将一个高次方程中累次出现的系数与k分别用来表示,再转化为解关于a的一元二次方程,这种“反客为主”的求解法,体现了化归的数学思想,也说明了常量与变量的辩证统一的关系,同学们要细心领会并掌握它。②仿例,解方程。四、利用“常值换元”法证明不等式例5.求证:。简析:可证,由于左边是关于幂的分式,运算起来很
4、困难,当我们把用字母a代换后,,运算起来很容易,即为,显然其结果小于0,故原不等式成立。(证明略)年级 初中学科数学版本期数内容标题 例谈“常值换元”法解题分类索引号 G.622.46分类索引描述 辅导与自学主题词 例谈“常值换元”法解题栏目名称 学法指导供稿老师审稿老师录入李霞一校胡丹二校审核
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