例谈“三角换元法”在解题中的应用

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1、28数学通讯一20l4年第ll期(下半月)·解题方法-证明设一”警十i，则等价于证明cos+COS20题(求值：c。s-COS各+c。s-COS箬+57c、十⋯十c0s，z臼一一．由前文知，。可‘l+cos#+cos20~⋯+COSnO1-cos0-cos(nq-1)0-t-cosn0参考文献：=：——．—————————————————．．—————————————．．——————————————2-2cos0[1]程汉波，杨春波．配以对偶，柳暗花明——由一道试题2丌2(+】)7c．2nn一。一。。—一十。o—2的“特别奖”解法引发的思考[j]．数学通讯(下半月)，

2、n+—l2012(12)，24—26．2～2c。s[2]林晨曦．把实数扩充到复数以后[J]．数学通报，1980(6)，14一l5．．27c．7c7r一。。gX-$~十。。。～。—2n+—11[3]邹慧群．把《实数扩充到复数以后》的两点补充[J]．天一—————2(————■——～一，津教育，1981(7)，24—25．1-COS)[4]刘敏思，欧阳露莎．复变函数论[M]．武昌：武汉大学出版社，2010．所以，cos0+cos20+⋯+cosn0=一告，得证．[5]潘圣荣．复数在三角级数求和中的应用[J]．数学教学，注：特别地，取一3，即可得到第5届IMO试l982(5

3、)，l8．题(证明：c。s号一c。s+cOs了3n=IJ．；取n一5，即(收稿日期：2014—05—08)可得到2012年全国高中数学联赛安徽省预赛第3例谈“三角换元法"在解题中的应用王耀(江苏省苏州市田家炳实验高级中学，215006)换元思想是一种经典的数学思想方法，本文主n十6+f=r(sin0+cos0)+C要讨论三角换元法在解题中的应用，这一解法多应一sin(十{)+c，用于解决函数或不等式的最值问题，是实现解题目标的一种有效转化策略．正因为此法的广泛应用价由sin(十号)∈[～1，1]可知“+6+c∈[一√r值，笔者将利用这种方法再来分析文中的几个高考+f，

4、√+c]．或竞赛试题，与读者交流，欢迎批评指正．例1(南通市2O14届高三第二次调研，2013因为o≤r≤≤1，那么√十c≤1+√，当且仅年全国高中数学联赛江苏赛区复赛)若实数n，b，C当“一6一,／g，c=l时，等号成立；满足“。+b≤c≤1，求“+b+C的最大值和最小值．分析此题设计精巧，可以从多角度研究，思维又一r+c≥一+：一分析切口较宽，解法也较多．然而，根据题中条件的结构特征，可考虑利用圆面的参数方程，即“三角换1一当且仅当“===6：一1，，c==：时，等号成立．元”的数学思想方法．解析设n=TCOSO，b=rsin0，其中∈R，0≤r因此，a+b十C的

5、最大值为1+√，最小值为c≤1，则19。-解题方法·数学通讯一2014年第l1期(下半月)29例2(2013年浙江大学自主招生试题)若X综上可知，n+6≥·+2—。一7(z，∈R)，则X+Y的最小值为点评三角换元在这里再一次体现了它的超强分析此题为二元二次方程中的最值问题，常实用性，利用公式““sin+bcos0=、sin(臼+规解法可对条件进行配方后三角换元，或进行构建)”将问题转为不等式问题，这些过程充分体现了齐次式求解，但是这两种解法都需要较强的计算基数学解题思维的“通法自然化”．本功．为此，笔者尝试对结论中的二元平方关系进例4已知n>0，b>O，+{一2，求。

6、+6+行三角换元，大大简化了计算过程．解析令z—rcos0，Y—rsinO(OER，r>0)，则的最小值．由条件可知,-2COS+2rsin0cos0-r。COS一7，整理分析此题改编于武汉市2010届高三2月调研试题．虽可利用直线的截距式方程分析得到“n得，．。sin(20+等)一7．那么，一√——，in(20+)+6+干_J’表示过点(4g，1)的直线在第一象限内与坐标轴正方向构成的直角三角形的周长问题，又由06R，>0得到≥，则(z+)：然而利用几何性质去研究的话，难度较大．那么，根据题中问题结构而采用三角换元的方法，也可顺利．得解．点评这种“逆向”的处理方法不

7、失为一种有效解析设“一rCOSO，b===rsin0(r>0，0<<的解法探究．在教学实践中，笔者也尝试从几何性)，则n+6+一r(cos0-1-sin0+1)．并由条质进行分析：即二次曲线X。十2xy—===7上的点还在一系列同心圆z+。一上，只要求最小半件+一2得到r—q面~-sin0+cos0znucSU，那么径，体现了问题的几何本质，这在一定程度上也加深ⅡSlO了学生对数形结合思想的认识和理解．口+6+例3(2013年浙江省高中数学竞赛)设二次一—(，cosU+十S。imn+十1)函数-厂(z)：ace+(2b+1)z—a一2(n=2-0)在