换元法在初数学解题中的应用.doc

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1、换元法在初中数学解题中的应用换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，在初中数学教学上换元法在分解因式，方程、和化简求值上巧妙地运用换元法能够将问题简化许多。使它简化，使问题易于解决。一.用换元法分解因式1简单换元例1.分解因式:.解:设,则原式=====.例2.分解因式：解：设，则原式评注：此题还可以设，或，或。运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式.2．抽象换元例

2、3.分解因式。解析：直接分解比较困难，若将常数2011，2012分别用字母表示为，分解简便易行。原式3.双换元例4.分解因式：解：设，两式相加，则原式点评:运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式.二.用换元法解分式方程和无理方程例5.解分式方程：(1)；解:(1)原方程可化为:.①设,则方程①化为:.②解方程②,得.当时，.解得,.当时,.解得,或.经检验,知,,,都是原方程的解.所以,原方程的解为,,,.系数对称方程换元例6.解方程：分析：方程的系数相等，上面方程的系数是对称的，可以通过变形后，换

3、元：变形：，，设，得，可解出方程。点评:运用换元法解分式方程,主要有三种情况.一是原方程可化为关于某一个分式的二次方程(如，本例题),这时,只须设这一分式为辅助元即可；二是原方程中含有未知数的几个分式，除数字系数外，互为倒数关系（如，解方程：），这时，只须设其中一个分式为辅助元即可；三是含有未知数的各个分式的分母都是关于未知数的二次三项式，且二次项系数和一次项系数对应成比例（如，解方程），这时，只须设二次项系数的绝对值最小的多项式为辅助元即可.例7.解方程。解：原方程化为，即。令，得，解得，。当即时，解得，；当即时，无实数解。经检验，都是原方程的根。例8..原方程可化

4、为:.①设,则方程①化为:.②解方程②,得.当时,.解得,.当时,.此方程无解.经检验,知都是原方程的解.所以,原方程的解为.点评:解比较复杂的无理方程时,如果用两边平方的方法,将出现高次方程,增加解题难度,此时若能根据方程的特点,灵活地应用换元法,则可以实现化繁为简、化难为易的目的.在采用换元法解无理方程时,一般设整个根式为辅助元,这样不仅能简化方程,而且往往能直接把无理方程化为有理方程.三．用换元法求值例9.计算:.解:设,则原式===.例10.已知，求。解：∵，∴。故等式两边同除以，得。设，则，。∴。故原式。点评:在计算求值时,常妙用换元法,把一个代数式用一个新

5、元进行代换.以新元参与有关运算,大大简化了计算过程.以上例题比较浅显，为教学中比较常见的，水平有限，望专家们不要笑话。