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1、学科代码：070101学号：092014020082贵州师范大学求是学院（本科）毕业论文题目：浅析换元法在数学解题中的应用AnalysedinapplicationtranslatedIntoelementmethodinmathematicalproblemsolving学院：求是学院专业：数学与应用数学年级：2009级2班姓名：周世维指导老师：冯金华（讲师）完成时间：2013年4月浅析换元法在数学解题中的应用周世维摘要：换元法是数学解题中常用的重要方法之一。在有些数学问题中，由于条件与结论中的变量关系在形式上的隐蔽，它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，即使看出它们之间的联系
2、，也由于表面形式的复杂而不易直接求解。但当我们进行适当的变量代换，把问题的条件和结论作形式上的转换，这样就容易揭示出它们之间的内在联系，把问题化难为易，化繁为简。掌握了代换思想，不但可以比较顺利地解决一些较难的题目，还可以用多种方法解答同一个问题，提高我们的思维。关键词:换元法；数学问题；变量代换；代换思想Abstract：Changeelementmethodisoneofimportantmethodsinmathematicalproblemsolving.Somemathproblems,duetotheconditionandconclusionofthevariablerel
3、ationshipinformofconcealment,substantiallogicconnectionbetweenthemisnoteasytofoundfromthesurfaceform,evenifseeconnectionsbetweenthem,alsoduetothesurfaceintheformofacomplexanddifficulttosolvedirectly.Propervariablesubstitution,butwhenweputthequestionofthetransformationintheformoftheconditionandcon
4、clusion,thiswouldbeeasytorevealtheinnerlinkbetweenthem,theproblemischangedtoeasy,changenumerousforbrief.Masteredthesubstitutionofideas,notonlycansolvesomeofthemoredifficulttopicsmoresmoothly,alsocanbeusedwithavarietyofmethodstosolveproblemsonebyone,toimproveourthinking.Keywords:changeelementmetho
5、d;mathematicalproblem;variablesubstitution;substitutionthought换元法是数学的重要解题方法之一,在解决代数式计算、解方程、三角函数、函数两个重要极限、求函数和微分、积分等题中起着重要的转化作用。当我们用一个新的字母代换题目中的一个“整体”时,可使原来题目隐藏的关系明朗化,给人以“柳暗花明”、化繁为简的感觉,使问题迎刃而解。实施换元法的关键在于恰当地选择新的变元代替旧的变元，同时要注意未知数允许值范围的变化,即新变元的取值范围与旧变元的取值范围的内在联系与转化。1.换元法及其相关的定义1.1换元法的一些基本概念和关键如果用新的未知
6、量或变量替换原来的未知量或变量,求出新的未知量或变量,利用替换关系式求出原来的未知量或变量的方法,叫做辅助元素法,简称换元法，其中新的未知量叫做辅助元素,简称辅助元[1]!利用换元法的关键在于适当地选择“新元”，引进适当的代换，找到较容易的解题思路，能使问题简化。使用换元法时要注意“新元”的范围，“新元”所受的限制条件还要注意根据题设条件验证结果。1.2换元法的基本思想和步骤即把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。①设元（或构造元）②求解③回代④检验转化等量等价原则1.换元法在数学解题中的应用2.1换元法在代数计算中的应用例1．计算解：设,两
7、边立方得得∴,(,又无实根，解得：原式2.2换元法在解方程中的应用在解方程组过程中通过恰当的换元，将高次方程化为低次方程，复杂方程化为简单方程[2]，也将分式方程化为整式方程，无理方程化为有理方程，借此换元思想将大大降低解方程的难度。例2．解方程-解：设两式相乘得：-+,解得：两式相加得：,解得：，易得：,在构成方程组的方程里，有关未知数的代数式呈对称性，换元法可借此特点使方程组简单化，便于求出方程组的解。例3.解方程组；分析：这是
