例谈用函数思想求解方程与不等式.doc

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1、例谈用函数思想求解方程与不等式彝良县第一中学徐家永摘要：函数是数学中的重点和难点，它惯穿整个数学中。随着函数知识的不断深化，逐步形成了函数思想，且将这种思想方法迁移到数学的其他分支中去。为了加深对函数的理解，本文用数形结合的函数思想谈谈如何求解方程与不等式的解集。关键词：函数方程不等式函数思想函数意义函数在数学教学中既是一个重点，又是一个难点，它是中学数学中的一个重要的概念和核心内容，它惯穿整个数学领域中。初中阶段重点研究函数的概念、图象和性质，而函数图象和性质的运用贯穿整个高中数学，它是高中数学的一条主线。随着函数知识的不断深化，逐步形成了函

2、数思想，并且将这些重要思想方法迁移到数学的各分支中去。所以，学好函数，是为今后学好数学打下坚实的基础。函数是方程与不等式的扩展，它们有着密切的联系，任意两者都可以相互转化，通过转化，将问题换个说法，以便理解题意，便于问题的解决。所以，在初中阶段，要学好函数，必须搞清函数与方程、不等式的关系。现在本文就谈一谈初中数学中，函数与方程、函数与不等式的关系。1函数与方程的关系从形式上看，函数y=ax2+bx+c（ab≠0）可变形为ax2+bx+c-y=0（ab≠0）。所以函数就是关于x、y的二元方程（不定方程），所有满足此方程的x、y的值在平面直角坐标

3、系中形成了一个图象，称为函数图象。所以函数就是关于x、y的二元方程（不定方程）。函数y=ax2+bx+c（ab≠0）图象上的点就是关于x、y的二元方程ax2+bx+c-y=0（ab≠0）的实解。为了方便，我们把含变量x的式子记为g（x）或者f（x）。则相应的函数记为y=g（x）或者y=f（x）。问题：“当x取何值时，函数y=f（x）的值为0？”与“当函数y=f（x）的值为0时，求x的值？”是两个说法不同而意思完全相同的问题。所以，方程f（x）=0的实解是函数y=f（x）的值为0时x的值。所以，从图象上来看，方程f（x）=0的解是函数y=f（x）

4、的图象与x轴的交点的横坐标。同样，求方程g（x）=f（x）的解，就是求函数y=f（x）与y=g（x）的函数值相等的x的值。所以方程g（x）=f（x）的实解，就是函数y=f（x）与y=g（x）在同一平面直角坐标系中的图象的交点坐标的横坐标。图(1)当x=m或x=n时，函数y=f（x）与y=g（x）的值都相等，所以m、n是方程f（x）=g（x）的两个实根。图(2)不论x为何值时，函数y=f（x）与y=g（x）的值都不相等，所以方程f（x）=g（x）无实根。图(3)当x=m时，函数y=f（x）与y=g（x）的值相等，所以m是方程f（x）=g（x）的一

5、个实根。图(4)当x=m或x=n或x=e时，函数y=f（x）与y=g（x）的值相等，所以m、n、e是方程f（x）=g（x）的三个实根。例1方程①2x-5=0②3x2-4x+1=0的解不难得到方程①的实根x=，方程②的实根x1=1，x2=。下面我们看看它们的相应函数的系。令y=2x–5y=3x2–4x+1而方程①的函数意义：“当x取何值时，函数y=2x+5的值为0？”所以当x=时，y=2x–5的值为0。如图（5），方程②的函数意义：“当x取何值时，函数y=3x2–4x+1的值为0？”所以，当x1=1、x2=时，y=3x2–4x+1的值为0。如图（

6、6）例2求解方程①x–7=–②4x2+3x+1=3x2+x分析：我们把原方程化为整式方程的一般式后，容易解出方程①的两个根：x1=3x2=4方程②的两个根：x1=x2=–1。用函数的观点来分析：方程①的相应函数y=x–7与y=–。而方程①的函数意义是“当x为何值时，函数y=x–7与y=–的值相等。”如图（7），所以，x=3或x=4，函数y=x–7与y=–的值相等。方程②的相应函数y=4x2+3x+1与y=3x2+x。而方程②的函数意义是“当x为何值时，函数y=4x2+3x+1与y=3x2+x的值相等”。如图（8），所以，x=1时，函数y=4x2

7、+3x+1与y=3x2+x的值相等。由例2可看出，例1中的两个方程的右边也可写成它相应的函数y=0（即x轴），同样可用例2的方法理解。综上可知，方程的根的个数，就是它相应的函数的交点个数或者是它相应的函数与x轴的交点个数。反过来一个函数与x轴的交点个数又如何判断呢？一次函数与x轴一定有交点，反比例函数与坐标轴无交点，在此不作讨论。下面看看二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数。我们先看它相应的二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况：（1）Δ>0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根。（2）Δ=0时，

8、方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根。（3）Δ<0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根。所以，当Δ>0时，有两个实数x，使y=0