函数、方程、不等式综合问题求解策略

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1、函数、方程、不等式综合问题求解策略【摘要】本文的主要内容是：例析4款典型问题，从它们的求解策略中提取一种极其重要的解题精神一一构造函数，以期将这种典型的处理方法辐射到整个函数、方程、不等式综合问题的求解中。【关键词】构造函数；单调性；数形结合在高中数学的知识体系中，函数、方程、不等式这三个研究对象占有极其重要的地位，这是因为，方程用来研究等量关系，不等式用来研究不等量关系，而“等”与“不等”恰恰构成了我们全部的客观世界，在数学领域中，方程与不等式都可以有机地融入到函数中去，所谓“方程不等莫伤神，一图一式定乾坤”,下面本文结合几个有趣的问题，谈谈它们的处理方法。例1

2、.（2010年辽宁高考理科数学第21题节选）已知函数设若对任意，求的取值范围。解：的定义域为.当时，，故单调递减，则对任意条件等价于，即，所以，可以构造函数，可知原条件等价于在上单调递减.从而，恒成立，设，可知所以，.在上题解答过程的最后，利用分离参数这一手段将参数分离出来进而求解，这也是解决求参范围问题的首选方法，不过，任何方法都不是万能的，参数分离也不例外，请看下面的例子。例2.（2010年全国II卷理科数学第22题）设函数.（1）证明：当时，（2）设当时，，求的取值范围.解：（1）证明：当时，构造，贝叽设，则且当时，，所以函数单调递减；当时，，所以函数单调递

3、增；所以，即，当时，（2）分析：当时，恒成立，利用参数分离法可得，，设，研究其单调性后不难发现，,但是，求的值需要用到高等数学中的法则，中学数学知识无法解决，所以需要换个方法。（2）解：由题设当时，.当时，若则不成立；当时，等价于令①（❷）当时，由（1）知，所以②所以在上单调递减，即（❷）当时，因为，所以③当时，，所以即综上所述，值得注意的是，在构造函数的过程中，通常只须构造即可，而本题为什么还大费周章地构造成解答中的那个呢？这是因为，在同等情况下，分式求导的难度比整式求导大得多,所以，可以总结出一条解题经验：分式问题要转化为整式问题。例3.证明：.分析：这是一个

4、数列求和的不等式证明问题，左边是一个和式，右边只有一项，一般处理这种问题都要恰当地使用放缩法，即逐项放缩，放缩之后转化成一个较容易求和的数列求和，那么，不等式右边是那个数列的和呢？很明显的是,是关于自变量的常数项为0的一元二次式，易求，它是等差数列第2项加到第项的和，由此，可以制定下面的解答策略。解：构造函数可知，即，当且仅当时取等号.则对任意，于是，所以，.证毕.构造并不是空穴来风，如果采用分析法分析的话，函数的产生就不会显得突兀，事实上，欲证成立，再结合这一事实，可以想到使用搭桥，即只须证，也即对任意，所以构造来解决这个问题。例3.（2013年陕西高考理科数学

5、第21题节选）已知函数⑶设比较和的大小，并说明理由。分析：将和作差，得到，其取值正负不容易判断，可以选择以为研究主元,以为参数，构造函数研究其单调性进而求解该问题，正所谓,“多元式子比大小，主元思想不可少”解：所以，在上单增，故所以，在上单增，故因此，＞0即〉.对于上题，可以看到要比大小的分式形式不一致，单纯采用'‘借助单调性比较函数值大小”的方法不容易操作，在作差之后设定主元是一种非常好的处理方法，另外值得提及的就是，只需研究差式的分子符号就行。另外，从几何角度来考察上面问题的结果，可谓一目了然，醍醐灌顶。如图，在曲线上的任意两点表示弦AB中点C的高度，则在曲线

6、上存在一点，而表示弦AB的斜率，在曲线上存在一点，因为，所以，，因为E在D的左下方，故，即.补充说明，任何下凸函数都具有这个特征。从上面5个例子的讨论中不难发现，方程、不等式问题的解决往往需要构造相应的函数，也就是说，如果只是方程领域解方程，不等式领域解不等式的话，往往无计可施，究其原因，乃是缺乏外援，正所谓，“问渠哪得清如许，为有源头活水来”，有了函数这一“源头”，方程、不等式问题求解的求解就会显得有本可依，有章可循，所谓的"难趣就-定会转变成一次愉快的探索旅程，令人陶醉其中。