细谈分段函数问题求解策略

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1、浅谈“分段函数问题”的求解策略江苏袁军函数问题一直是高考中的热点，纵观近两年高考试卷，分段函数问题的考查越來越成为重点•分段函数问题的考查，主要有以卜7L种类型：①分段函数的求值问题；②己知分段函数的值，求自变量的值；③分段函数单调性的应用；④分段函数的值域问题；⑤分段函数与其它知识的联系•下面就上述儿种类型进行例解，希望对同学们的学习有所帮助.类型一.分段函数的求值问题Jlog2(4-x),x0例1.(2009III东卷文)定义在R上的函数/G)满足/(x)=,、“补J则/⑶-2),x>0的值为()A.-1B.-2C.1D.2解析：函数将定义域分成两段,・・・3>0,A/(3)=/(2)

2、-/(I),而/(2)=/(I)-/(0),・・・/(3)=/(I)・/(0)・/(I)=・/(0),又J0£0,./(0)=log2(4・0)=2,・・・/(3)=・2•答案:B.【点评】：这属于分段函数的求值问题，解决这类问题关键看定义域被分成了儿段，弄清所求的值自变量属于哪一段，逐个求解即町.类型2.已知两数值求自变量的值i3x,x£1例2.(2009北京卷文)已知函数f(x)=1、，若/(x)=2,贝欣=.解析：当x51时，f(x)=3’，贝ij3'=2,则x=log.2,满足x<1；当兀>1时，/(%)=-x,则一兀=2,即x=-2与x〉1矛盾故舍去.二x=log32.【点评】

3、：这属于己知分段函数的值，求H变量的值的问题，这类问题利用分类讨论的数学思想解决即可•根据所分的段，得出相应的解析式，从而解方程即可.但是这类问题，一定要注意检验.类型3.分段函数单调性的应川例3.已知念)』严-山+也〔log“x，X<1,是(-CO,+00)上的减函数，则d的取值范围是x>1解析：要使y=f(x)是(-00,0)的减函数，必须满足各段函数都是减函数，当XV1时，/(x)=(3a—1)兀+4a,y=fx)在(—oo,l)上是减函数，必须满足3a—lvO；当x>时,y=/(x)在［1,+8)上是减函数,则0

4、—1v0,必须满足3q-1+4q>0,即解<0,/.—<«<—.733a-l+4a>0.【点评】:本题给出了分段函数的单调性耍求参数的范围，根据函数在(-00,+00)上是减函数,则各段函数都必须是减西数.本题很容易忽视梏个函数的单调性，直接得出0VQV丄.3I兀2—Ay+6T>0例4•设函数f(x)={'‘一，贝怀等式/(%)>/⑴的解集是.［兀+6,x<0解析:/(I)=3=/(-3)=/(3),・・•当兀no时，/(x)=x2-4x+6,Z.知函数在［0,2］±是减函数，而/(%)>/(1),则xe［0,l),函数在［2,+oo］上是增函数，/(x)>/(!)<=>/(x)>/(3)

5、,则兀w(3,+oo)；当xvO时，f(x)=x+6,函数在(一oo,0)上是增函数,/(x)>/(I)«/(x)>/(-3),/.xg(-3,0).综上所述，则不等式的解集为(-3,1］U(3,+oo).【点评】：本题应先分析清楚各段函数的单调性，然后利用函数的单调性去比较大小即可.类型4.分段函数的最值问题例5.求函数y=2-xx+2在兀w［-3,2］上的值域.解析：由题意函数变形为:x~+2x+2,~x~—2x+2,-3

6、函数y=/(x)在(-2,-1］±是增函数,在［-1,2］±是减函数,故-6

7、意知a“+i,S为奇数)2色+1,S为偶数)^=2^-2..^2010=2l006-2.【点评】：数列是特殊的函数，本题借助于分段函数揭示了一个递推关系式，根据递推关系式通过变形，构造了一个等比数列，去求数列的通项•解决这类问题关键是抓住数列与函数的联系，利用函数的性质解决问题即可.根据近两年全国各地的高考试卷可以发现，对于分段函数的考查均是在小题屮出现，对于2010年的高考，我认为如果考查仍会在小题中出现，对于分段函数