[专题阅读]分段函数的求解策略

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1、［专题阅读］分段函数的求解策略高三数学专题阅读分段函数的求解策略分段函数的求解策略函数是中学数学中的核心内容，也是高等数学所研究的对象，是高考数学重点考查的内容，而且考查的方式逐年变化。下面对悄然兴起的对分段函数的考查进行粗浅的探讨，希望能够有助于同学们的备考。一、分段函数的解析式与图象问题例1・图屮的函数图象所表示的函数的解析式为()323C.f(x)=-1x-11(0WxW2)2A.f(x)=

2、x-11(0WxW=33・

3、x-11(0WxW2)22D.f(x)二l・

4、x・l

5、(0WxW2)解析：方法一：利用特殊值点(0,9),(1,)代入即可得出选B方法二：xH032l・

6、・・H0x：•函数的值域是(・°°,0)(0,+8)3x233同理,当时，设y=kx+b,其经过(1)(2,0),由此可知y二3・x22方法二：当0WxWl时，设y=kx+b,其经过(0,0),(1」，由此可知y二故应选Bo评述：这类题多是给出函数表达式，要求选出符合条件的图象；或者给岀函数图象要求学生确定符合图象的表达式。应该说这一类题是具有一定的再生能力的，反映了新的命题方2011-2012学年度第1学期32高三数学专题阅读分段函数的求解策略向，应当给予足够的重视。二、迭代求值?2ex-l?例2•设函数f(x)=?2??log3(x-l)解：f(2)=log3(22-l)

7、=lx<2,则f[f⑵]二。x22/.f[f(2)]=f(l)=2el-l=2评述：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。此类题在近几年的高考中出现较多。三、分段函数的反函数?x+lx<0例3.函数f(x)二?x的反函数是。ex20?解：当x20吋，由y=ex(y^l)得x=lny,此时反函数为y=lnx(x^l)当x<0时,由y=x+l(y<l)得x=y-l,此时反函数为y=x-l(x<l)?x-lx<l综上所述，原函数的反函数是f(x)=?Inxx^l?四、分段函数的单调性?(3a-l)x

8、+4ax<l例4.己知函数f(x)二?是(-oo,+oo)上的减函数,那么a的取值范围是logxx>la?()A.(0,l)B.(0,13C.[,)1173D.[Z1)172011^2012学隹度第1学期高三数学专题阅读分段函数的求解策略解：显然，该函数的定义域为R1+X+X2ifif(x)=y=,贝iJ(y-l)x2-x+(y-l)=021+x(1)当yHl时，由?=(-l)2-4(y-l)(y-l)^0得：(2)当y二1时，x=0综上所述函数的值域为[」四、求反函数法此法多用于分子、分母中只含有一次式的情况13WyW2213223x+4的值域。5x+64-6y

9、解：由题设得x=5y-3例5•求函数y=故原函数的反函数为y=其定义域为xH4・6x5x-3353535所以原函数的值域为(・8,)(,+°°)另：此题也可以用分离常数法完成。五、函数有界性法ex-1例6.求函数y二x的值域e+1y+1解：由原函数可得ex=y-1ex>0y+l>0y-l?-l<y<2故原函数的值域为(・“)。六、函数单调性法例7.求函数y二2x・5+log(2WxW10)的值域。2011^2012学年度第1学期高三数学专题阅读分段函数的求解策略解：令yl=2x-5,y2=logyl/y2在[2J0]上都是增函数所以y=2x-5+log

10、[2,10]±都是增函数■A??y=y

11、-3=1minx=2=2+log38??ymax=y

12、x=10=25+log333故原函数的值域为[18,33]例8.求函数y=解：原函数可化为y二令yly2二显然yl,y2在[1,+^)上是无上界的增函数・・・y[b+s)上是函数值大于0的减函数・yrnin二y

13、x二1二二「・原函数的值域为七、换元法主要适用于解析式中含有根式或三角函数公式的题型例9.求函数y=x解：=t,显然t±0,则x=t2+lAy=t2+t+l?t[0,+°°)其对称轴为t二2?[0/+°°)Ay=t2+t+l在[0z+~)单调递增・ymin二y

14、t二1二1

15、故，原函数的值域为[1,+°°)2011^2012学年度第1学期高三数学专题阅读分段函数的求解策略八、数形结合法主要用于解析式中出现“两点间距离公式”、“绝对值运算”以及”的题型例10.求函数y的值域解:原函数可化为y=

16、x-2

17、+

18、x+8

19、(PS：常规手法是在此处“零点分段”求解析式)上式可以看成数轴上的点P(x)到定点A(2)、B(・8)间的距离之和如上图可知(1)当点P在线段AB±时，y=

20、x-2

21、+

22、x+8

23、=

24、AB

25、=10(2)当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=

26、x-2

27、+

28、x+8