衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题二 常见分段函数问题求解策略.pdf

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1、衡水独家秘籍之2019高中期末复习专题二常见分段函数问题求解策略【方法综述】分段函数：(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就常见分段函数问题解决方法举例说明．1．求分段函数的函数值2x1(x0)例1.已知函数f(x)，则f[f(1)]=2x(x0)2解：因为f1

2、2,所以f[f(1)]f2215.解题策略　求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理．2．求解分段函数的解析式例2.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示．则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y与x之间的函数关系式．解：　(1)由题意可知当0＜x≤100时，设函数的解：析式y＝kx，又因过点(100,40)，得2解析式为y＝x，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，52

3、所以应交话费y＝×50＝20(元)．5(2)当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60.则有Error!解：得Error!1所以解：析式为y＝x＋20，5故所求函数关系式为y＝Error!解题策略　以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中，解决此类问题的关键是正确地理解：题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点．3.求分段函数的定义域、值域、画出分段函数的图象例3.已知函数f(x)

4、2x1

5、.（Ⅰ）用分段函数的形式表示该函数；（Ⅱ）在下边所给的坐标系中画出该函数的图

6、象；并根据图象直接写出该函数的定义域、值域（不要求证明).12x1,x2【答案】（Ⅰ）f(x)；（Ⅱ）图象见解：析，定义域：R，值域：2x1,x12[0,).【解析】12x1,x2（Ⅰ）f(x)2x1,x12（Ⅱ）图象如下图：观察得到定义域为R，值域为[0,).解题策略（1）分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实．（2）分段函数的定义域是各段函数解：析式中自变量取值集合的并集；分段函

7、数的值域是各段函数值集合的并集．【针对训练】?2―?,?≤1,1．已知函数?(?)={1则?(?(―1))的值为（）,?>1,1―?11A．―1B．C．―D．155【答案】A【解析】1由题得f(-1)=(―1)2―(―1)=1+1=2,∴?(?(―1))=?(2)==―1.1―2故答案为：A1,?>02.已知符号函数sgn=?{0,?=0,是R上的增函数，，?(?)?(?)=?(?)―?(??)―1,?<0(?>1)则（）A．sgn[?(?)]=sgnB?．sgn[?(?)]=-sgn?C．sgn[?(?)]=sgn[?(?)]D．sgn[?(?)]=-sgn[?(?)]

8、【答案】B【解析】当?>0时，???，由单调性：?(?)>0，此时sgn[?(?)]=1=―sgn?，所以sgn[?(?)]=―sgn?.故选B.n3,n1003.已知函数f(n)(nN)满足f(n)，则f(1)（）f[f(n5)],n100A．97B．98C．99D．100【答案】B【解析】∵f(100)97,f(99)f[f(104)]f(101)98,f(98)f[f(103)]f(100

9、)97,f(97)f[f(102)]f(99)98,f(96)f[f(101)]f(98)97,依此类推，得f(99)f(97)f(1)98，∴选B.lnx1,x04．已知函数fx{1，若mn，且fmfn，则nm的取值范围x1,x02是（）A.32ln2,2B.32ln2,2C.e1,2D.e1,2【答案】A【解析】作出函数f(x)的图象如图，若m