衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题五 函数与方程问题求解举例.pdf

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1、衡水独家秘籍之2019高中期末复习专题五函数与方程问题求解举例【方法综述】函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为

2、方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．【要点回顾】1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且f(a)f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反之不成立．2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x)＝0.3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐

3、标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y＝f(x)与y＝g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求f(x)－g(x)＝0的根．【典型例题】1．求函数的零点例1.求函数f(x)＝x3－3x＋2的零点．解　令f(x)＝x3－3x＋2＝0，∴(x＋2)(x－1)2＝0.∴x＝－2或x＝1，∴函数f(x)＝x3－3x＋2的零点为－2,1.评注　求函数的零点，就是求f(x)＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题．2．判断函数零点的个

4、数x－2例2.已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，判断函数f(x)＝0的根的个数．x＋1x－2解　设f1(x)＝ax(a＞1)，f2(x)＝－，则f(x)＝0的解，即为f1(x)＝f2(x)的解，即为x＋1函数f1(x)与f2(x)的交点的横坐标．x－2在同一坐标系下，分别作出函数f1(x)＝ax(a＞1)与f2(x)＝－的图象(如图所示)．x＋1所以方程f(x)＝0的根有一个．评注　利用数形结合的思想解决，在同一坐标系下作出f1(x)与f2(x)两函数的图象，从而观察出两函数的交点个数(即为原函数的零点的个数)．3．确定零点所在的区间1例3.设函数y

5、＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()2A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)11解析　y＝x3与y＝()x－2的图象的交点的横坐标即为x3＝()x－2的根，即f(x)＝x322111－()x－2的零点，f(1)＝1－()－1＝－1＜0，f(2)＝23－()0＝7＞0，222∴f(x)的零点在(1,2)内．答案　B评注　本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求．4．利用函数零点的存在性求参数范围例4.关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在[0,2]

6、上有解，求实数m的取值范围．解　设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，又∵f(0)＝1>0，由题意得①Error!或②Error!解①得－3≤m≤－1，解②得m<－3.综合得m≤－1.故m的取值范围为m≤－1.评注　本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求.4.判断方程解的存在性例5.已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？分析　可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化

7、情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．解　因为f(－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2＋1＝－4<0，f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．评注　要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．5、确定方程根的个数例6.若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[

8、－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为(