衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题三 函数单调性的判断与证明.pdf

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1、衡水独家秘籍之2019高中期末复习专题三函数单调性的判断与证明【方法综述】1．函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域I内的某个区间DDI上的任意两个自变量x、x，当12xx时，都有fxfx，那么就说函数fx在区间D上是增函数；1212（2）减函数：若对于定义域I内的某个区间DDI上的任意两个自变量x、x，当12xx时，都有fxfx，那么就说函数fx在区间D上是减函数.12122.复合函数单调性的结论：y＝f(t)递增递减t＝g(x)递增递减递增递减y＝f[g(x)]递增递减递减递增以上规律可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”．不过要注意

2、：单调区间必须注意定义域；要确定t＝g(x)(常称内层函数)的值域，否则无法确定f(t)(常称外层函数)的单调性．3.用定义证明函数单调性中的变形策略由定义证明函数f(x)在区间D上的单调性，其步骤为：取值→作差→变形→定号．其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f(x1)－f(x2)的符号的关键所在．常见变形方法有因式分解、配方、同分、有理化等，下面举例说明.例1.求证：函数f(x)＝x2－4x在(－∞，2]上是减函数．证明：设x，x是(－∞，2]上的任意两个实数，且x＜x，则f(x)－f(x)＝(x21－4x)－1212121(x2－4x)2＝(x1－x2)(x1＋x2－4)．因为x

3、1＜x2≤2，所以x1－x2＜0，x1＋x2－4＜0.所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．故函数f(x)在(－∞，2]上是减函数．评注　因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断f(x1)－f(x2)的符号．例2.求证：函数f(x)＝x3＋1在R上是增函数．证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x)－f(x)＝x31＋1－x32－112＝x31－x32＝(x－x)(x21＋xx＋x2)1212x23＝(x－x)x1＋2＋x2.12[(2)4]x23因为x＜x，所以x－x＜0，x1＋2＋x2＞0.1212(2)4所以f(x

4、1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．故函数f(x)在R上是增函数．评注　本题极易在(x－x)(x21＋xx＋x2)处“止步”而致误．而实际上当我们不能直接判断1212x21＋xx＋x2的符号，又不能因式分解时，采用配方则会“柳暗花明”．121例3.已知函数f(x)＝x＋，求证：函数f(x)在区间(0,1]上是减函数．x1证明：设x1，x2是区间(0,1]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－1x2－x1x211x2－x1＝(x1－x2)＋(x1－x2)＝(x1－x2)＋x1x21x1x2－1＝(x1－x2)(1－x1x2)＝(x1－x2)(x1x2).

5、因为x1＜x2，且x1，x2∈(0,1]，所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜1.所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．故函数f(x)在(0,1]上是减函数．1评注　同样，我们可以证明f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是增函数．x例4.已知函数f(x)＝x－1，求证：函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．证明：设x，x是区间[1，＋∞)上的任意两个实数，且x＜x，则f(x)－f(x)＝x1－1121212－x2－1x1－x2＝.x1－1＋x2－1因为x1＜x2，且x1，x2∈[1，＋∞)，所以x1－x2＜0，x1－1＋x2－1＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(

6、x1)＜f(x2)．故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．评注　对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断f(x1)－f(x2)符号的目的.1例5.求函数y＝的单调区间．x＋121解：函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，x＋121设t＝(x＋1)2，则y＝(t>0)．t当x∈(－∞，－1)时，t是x的减函数，y是t的减函数，1所以(－∞，－1)是y＝的递增区间；x＋12当x∈(－1，＋∞)时，t是x的增函数，y是t的减函数，1所以(－1，＋∞)是y＝的递减区间．x＋121综上知，函数y＝的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)．x＋1

7、21例6.求y＝的单调区间．x2－2x－3解：由x2－2x－3≠0，得x≠－1或x≠3，1令t＝x2－2x－3(t≠0)，则y＝，t1因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，t而t＝x2－2x－3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数，1在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，所以函数y＝的递增区间为(－∞，－1)，(－x2－2x－31,1)，递减区间为(1,3)，(3，＋∞).【针对训练】1．下列四