例谈函数与方程的思想

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1、例谈函数与方程的思想函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通过方程进行研究。问题1运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题例1已知函数（I）求在区间上的最大值（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解：（I）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是

2、增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须　　即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。问题2构造函数或方程解决有关问题例2已知函数f(x)=logm(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(

3、β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由解（1）x＜–3或x＞3∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3设β≥x1＞x2≥α，有当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］∵0＜m＜1,f(x)为减函数∴即即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根∴∴0＜m＜故当0＜m＜时，满足题意条件的定义域区间［α,β］存在点评：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布

4、；解不等式组例3设，，试比较a、b的大小。解析：如果比较与0或与1的大小，即作差法、作商法来做较繁杂不易判断由于a、b两数的结构特点可构造函数，则a=f(33)，b=f(34)，若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出a、b的大小。∵　3x+1在R上递增，在R上递减∴在R上递减∴f(33)＞f(34)，即a＞b例4．已知f（x）=lg，且f（1）=0，当x＞0时，总有f（x）－f（）=lgx．（1）求f（x）的解析式；（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是，求实数m的取值范围．解：（1）由f（1）=0得：a+b=2①又f（x）－f（）=lgx，∴lg－lg=lgx，从

5、而=x，∵x＞0，∴（a－b）（x－1）=0　对x＞0总成立，则a=b②由①②解得：a=b=1，∴f（x）=lg．（2）原方程f（x）=lg（m+x）可化为＝m+xx＞0或x＜-1,令g（x）=－x=－［+（x+1）］+3，①当x＞0时，+（1+x）≥2（x=－1时取等号），∴g（x）≤3－2．②当x＜－1时，（－）+［－（x+1）］≥2（x=－－1时取等号），∴g（x）≥3+2．故方程g（x）=m的解集为时，m的取值范围为（3－2，3+2）．点评：构造辅助函数g（x），运用函数思想求值域是确定参数m的取值范围的关键，其次要注意求补集思想的运用．一般地，函数g（x）的值域

6、为D，则方程g（x）=m有解的充要条件是m∈D，解集是的充要条件是m∈CRD．例5设a为实数，记函数的最大值为g(a)　　（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；（Ⅱ）求g(a)；（Ⅲ）试求满足的所有实数a解：（I）∵，∴要使有意义，必须且，即∵，且……①∴的取值范围是由①得：，∴，（II）由题意知即为函数，的最大值，∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；（2）当时，，，有=2；（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，，若即时，，若即时，综上所述，有=（

7、III）当时，；当时，，，∴，，故当时，；当时，，由知：，故；当时，，故或，从而有或，要使，必须有，，即，此时，综上所述，满足的所有实数a为：或点评：本题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力小结函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解