例谈函数型创新题求解策略

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1、例谈函数型创新题求解策略浙江省湖州中学(313000)卢建武函数型创新题是指给出阅读材料，设计一个新的数学情境，定义一个新的函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者是以函数为背景，定义一个新概念，把函数的知识与方法迁移到新的情境屮的一类问题.函数创新型题垂点考查学生即时学习能力、阅读理解能力、数学语言转化能力和知识迁移能力，同时又考查学生分析问题和解决问题的能力，以及探究能力和创新能力，因此函数创新型题在近几年高考中屡有出现，本文以2010年高考为例谈谈函数创新型题求解策略.1理解新定义，联想旧背景例1(陕西文)某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一

2、名代表，当各班人数除以10的余数人于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用収整函数)匸f^(［x］表示不大于x的最大整数河以表示为()A.B.y=兀+3i(r10D.x+5i(r【解】法一：特殊取值法，若兀=56,y=5,排除C、D；若兀=57,y=6,排除A,所以选B.法二：设x=1()m+a^()

3、正确作答.2敏锐观察例2(湖南理数)用min{a,b］表示a、b两数中的最小值.若函数f(x)=min{lxl,lx+/l}的图像关于直线x=-j-对称，贝骑的值为A.-2B.2C.-1D.1【解】如图，要使/(x)=min{lxl,lx4-Zl}的图象关于直线x=-j对称，则21,故选D.本题也是新定义函数，在解题过程中，要理解新函数的怎义，敏锐地捕捉试题提供的相关信息，数形结合，从而使问题简化.数形结合是我们处理函数问题的常川方法之一，函数型创新题既然是以函数为背景，数形结合当然是一种行之有效的方法.3紧扣定义，合情推理例3（福建理）对于具有相同定义域D的函数/（

4、x）和g（Jt）,若存在函数h（x）=kx+b（k,b为常数），对任给的正数加，存在相应的x（）wD,使得当xeD且x>兀（）0l］的四组函数如下：①f(x)=X2fg(x)=/x；②/u）=i（r+2,g⑴=空二2③/3=牛1,£（兀）=幻幕+1；④/«=77f^W=2上―1—八）.其中曲线y=f（x）和y二g（x）存在“分渐近线”的是（）A.①④B.②③C.②④D.③④【解】因为fM=x2没有渐近线①显

5、然不对；对于③假设存在hM=kx+h,/(X)-/?(%)=(1-k)x4-丄一b,若k工,则兀—>4-00时，/(兀)一/?(x)TOO,所以R=l,X/(%)-/?(%)=--b由定义易知b=0所以h(x)=x心）-如）―走"依<。与定义矛盾,因此不存在•故选c・木题新定义了函数的性质，由于性质是川数学语言进行描述的，显得比较抽象，因此在求解的过程中耍仔细理解定义，类比联想，木题是在渐近线的基础匕作适当延伸，给出了“分渐近线”的定义，即新性质的实质是两函数的图像分别在渐近线两侧，并由此去讨论四对函数，因此曲线渐近线成为对本题实施知识迁移的关键，同时题目所给的函数

6、比较复杂，对考牛综合能力也提出了较高要求.4回归本源，以静制动例4（江苏卷）设/（兀）是定义在区间（l,+oo）上的函数，其导函数为广（兀）.如果存在实数d和函数/?（兀），其中/?（x）对任意的XG（1,+oc）都有/2（x）>0,使得广（兀）=/2（X）（X2-处+1）,则称函数f（X）具有性质P（G）.⑴设函数/(x)=lnx+¥^(x〉l)fM,其中b为实数.求证：函数/(兀)具有性质P(b)；(2)已知函数g(x)具有性质P(2).现给定兀[、兀2^(1+oo)州eq，设加为实数,a=mxx+(1_加)兀2，0=(1一加)X]+mx2，且a>1,0>1,若I

7、g(a)-g(0)lvlg(兀J一g(兀2)1,求加的取值范围.【解】(1)广(小=丄一一=—!―(F_bx+1),・・・兀>1吋，hx}=—1―>0fix(兀+1)~兀(兀+1)'7兀(兀+1)-成立，・・・函数/*(兀)具有性质P(b)；⑵山题设知，g(x)的导函数g'(x)=力(兀)("-2x+l),其中函数力(兀)〉0对于任意的XG(1,+00)都成立.所以，当兀〉1时，g'(x)=〃(兀)(兀-1)2>0,从而g(兀)在区间(1,+CO)上单调递增.①当tne(0,1)时，有a>mxv+(-m)x2>tnx{+(1-血)州=x,,a=m