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《例谈双曲线离心率的求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例谈双曲线离心率的求解策略一、利用结论识记双曲线中一些常见的结论，能够帮助我们迅速求解离心率,事半功倍，省去了很多计算上的麻烦。以下结论需要熟记。/V22・双曲线亠-%=丨中，右焦点为尺，作巴F垂直于渐近线CTDy=-x,垂足为尸，则点尸在双曲线的右准线上,且尸的坐标为a2•千,？］,且
2、0尸
3、=F2P=bF2O^c.2•双曲线斗-耳=1中，若M，0为双曲线上关于原点对称的CT两点，而且N在双曲线上，则有仏妙•%=〈.3•双曲线二-其=1上的点尸到两渐近线的距离之积为定值crtra2b2c"4高巾级字解逐釧冤士曲勺444沁M【例1］如Y
4、-⑴，已知F提双曲线产-b2=1的右焦点，过朽作一条渐近线的垂线,垂足为力,与另外一条渐近线的交点为比鬥8=2场求离心率匕图⑴解析:由已知有尺(sO)m—，由于力为中点，故「Icc丿3〔竺_二地［将点3坐标代入尹=_?兀得€=2.,cc}a【例2】如图⑵，已知双曲线升斧I曲轴上点卩的直线/与双曲线的右支交于两点（M在第一象限），直线A/O交双曲线左支于点0连接ONAMPO=60°,ZMNQ=30°,求离心率e的值.图熟梆—解析:M,0两点关于原点对称，而且N在双曲线上，因而根据结论化和%耳,可得壬=1,解得e=>/2.【例3】已知双曲线二-存=1
5、的任意一点P,过点"向两条渐近线作垂线，垂足分别为M,N若PM・PN=：•，求离心率£的4值.解析:由已知有绰即-刊=心解得"、伍・c4高甲数字解题硏究主3394学加3利用平面几何知识借助平面几何的相关性质可以巧妙求解双曲线的离心率，往往能够化繁为简，柳暗花明。1.三角形的相似性质【例4】如图(3)所示已知坊是双曲线■-石i的右焦点M是双曲线的右顶点，过耳作昇耳的垂线与双曲线交于〃，C两点，过B，C分别作AC.AB的垂线，两垂线交于点Q•若点D到直线BC的距离小于g+疔防,求离心率e的取值范围.图⑶解析:由已知条件可知点D在x轴上，血丄力「,垂足
6、为八在直角三角形刃C中，上CBT+ZBCT=90°,在直角三角形AF2B中，ZBAF2+AABF2=90*,又ZBCT=ZABF2,所以ZCBTNBAFr，故DBF、相似于BAF..因此有年=与，解B卜］Ar.程、ab；、得DF严亠■令上C-c-a丿7、，迂).a°工一高中数字解题硏究主?％444勺勺1.三角形中位线的性质V2v2【例5】女口图(4)所示，已知厲是双曲线r-1的右焦a"o点，M，N分别在双曲线的渐近线上，满足^MF:O=乙MNO=—,NF,//OM，求离心率e.解析:延长许，交另一条渐近线于点。，
8、贝I」OM=OQ.由于巴为A/Q中点,NFJ/OM,所以N为。。中点.又伽丄OQ,故MO=A/0.所以NMOO为正三角形,乙MOQ=60ZMOx=30°,故许拿因此"务[离中型字解葱阴刃壬口1.直角三角形的勾股定理22【例6]如图(5),已知尺是双曲线二•-咅=1的右焦点,过&的crb直线交双曲线同一支于Z，〃两点，点C是点力关于原点。的对称点.若V丄AB^CF2=F?B,求离心率e.图(5)解析:找出该双曲线的左焦点,设为尺.易知四边形AFxCF2为矩形.设AF2=x,则力歼=2c+x,CF2=F2B=2a+x,4B=2a+2x,BF；=4a
9、+x.在直角三角形F/B中，由AF{2+AB2=BF?，得g=x.在直角三角形FAF?中，由力仟2+/耳2=歼巧2,得厶口？=2。2,故有0=^®.••宅鬲中参字麟题斶究主工沖也旧处1.三角形的角平分线定理ARAT在ABC中，若/W是角昇的内角平分线，则有铁=生.利用BDCD该结论求解可以出奇不意，克敌制胜.22【例7】如图⑹，已知尺是双曲线亠-莎=1的右焦点,过尺作°crtr°—条渐近线的垂线,垂足为A/,与另外一条渐近线的交点为图⑹（）M・MN2解析:易知OF?=ciOM=a1MF2=»由于一=ja24故MN=-a3在直角三角形OMN中,
10、ON=JOM=MN‘=-a2.由于O尺是ZMON的内角平分3-线，故有罗=竽，即附=沃故MN=MF、+NF,=影•因此MF、NF233离中兹字辨题研刃士？泊4也9匕Jf有1解得e=3322.菱形的判定定理与性质定理在双曲线的图形中可以构造出平行四边形或者菱形,要熟记平行四边形以及菱形的判定定理和性质定理。22【例8】如图（7）,已知杠，尺分别是双曲线二-匚=1的左，右焦「6Ttr点,若在双曲线右支上存在一点A/使得（页7+死）•丽=0,且MF=43MF]t求离心率e.解析:以OM、OF,为邻边做一个平行四边形OA/NF,,显然该平行四边形为
11、菱形.由于OM=OF、=OF，所以丄设MF、=r{,MF2=/;,贝I」有，；=7亏2，人一，：=2。，解得/;=（34-V3）t7,
