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《例谈数列通项的常见求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、用竞赛数学的方法解高考数列通项浙江省湖州中学李连方(313000)数列通项的求解是国内外数学竞赛和高考命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。而在近几年高考中关于数列通项的试题中，我们可以发现其与数学竞赛有着千丝万缕的联系。因此在高中经历过数学竞赛培训的考生，大都常握了一些高中课本所不曾接触过的知识，在应对这些难度很大的问题就会感到轻车熟路，应对自如。木文借助一些高考试题，说明数学竞赛知识和方法在高考数列通项求解中的渗透。一、不动点的渗透在儿年高考试卷中，不动点的知识应用频率非常高，对"叫二/的递推式求解通项，可利用特征方程“晋,若此方程有两
2、不相等的实根州、x2,则可构造数列等比仇二也匚空，若此方程有两相等的实根X,=X.,则可构造等差数列an~Xlbn=—-—,从而解得心的表达式。①一E例1(20006年全国II卷)设数列匕｝的前川项和为S“，且方程x2-an-x-an=0有一根为S”一1(/?eN*)。求数列｛%｝的通项公式。分析：易得％=—，且(S“—1)~—cin•(S“—1)—a”=0,将d“=S”—S“_］代入上式，得S“=—!—,利用特征方程x=—解得x=l,可构造bn=—^—,则勺=—2,2—昭2-xS”-11o—1且b沖==-—=-1+-—=—1+bn,所以数列｛仇｝是公差
3、为—1的等差数S”+1-1S“一1S”一1列。故hn=-n-l,所以S“二丄，因此数列匕｝的通项公式为色二丄。n+1n+1二、特征根的渗透对于形如=p-an+q-an_.的二阶递推式求通项，可先利用特征方程x2=p・x+q,若此方程有两不相等的实根西、勺，则可构造两数列等比｛©+】-坷•〜｝和｛d“+I一兀2•分别解出通项Q“+1-兀［•Cln与Q“+I-兀2•an，再将d“+l、an看成未知数，从而解出化的表达式；若此方程有两相等的实根%!=X2,则先解出4曲一州・碍,再利用“待定系数法”可解出色的表达式。例2（2005年广东卷改编）己知数列&”｝满足
4、兀2=—，£二丄（£一1+x„_2）（/i>3）,22若limxn=2,求兀］的值。n—>oo分析:利用特征方程宀朴+1）,解得归或因此可将HO,]
5、X兀=-（XH-1+兀“―2）变形为X“一兀“―1二㊁（兀”_1一兀-2），又由题意川知兀2一兀1二一寸"+1所以数列｛兀+
6、—X”｝是以丄公比的等比数列，则£+1—£=（兀2一坷）•（丄）1二一州•』）"222,贝IJ数列兀」是常同理将兀=+（兀“_1+兀“_2）变形为兀+*”_[=Xn_｝+*“—2数列，则£+]IX9Y+产"2+寸F两式相减可得“〒1+（”‘故hmxn=2/1-»00得X]=3。三、待
7、定系数法的渗透对于形如=p-an_x+g、an=p+q"、an-p-an_｝+kn+b（p、q、k、b是常数）等递推式求通项类型的试题，在高考中出现的频率最高，在每年的各省市高考卷中都能找到其身影，而且其解题的方法众多，其中待定系数法不失一种简洁的方法。例3（2006年全国I卷）在数列｛%｝中，S”=ytzn-^x2n+1+-
8、,（7?wN*）。求首项Q]与通项ano分析：由题意得=S.=-67j--x22+-,解得％=2°又441色+1=S“+1—S“-§（2曲-2"）,即an+｝=4an+2n+i,设仃+兀・2网=4仏+兀・2"）,利用待定系数法可得
9、％i,又4+2=4工0,所以数列仏+2"｝是公比为4的等比数列。所以込+2”=4x4"」，得q”=4"—2"。四、取对数的渗透在高中数学竞赛中，对于形如❻=/八色_「的高次递推式求通项，常常采取两边取对数，从而达到构造新数列解出匕的表达式。例4（2005年江西高考卷）己知数列｛〜｝各项为正数，且满足％=1,色+1=心一。“）（"Wo（1）求证：0“0o令亿=2-色
10、，则b曲二一・bj,两边取对数得lgbn+1=2-lgbn-lg2，变形为lg/7/i+1-lg2=2.(lg^-lg2),又lg仇_lg2=_lg2H0,所以数列｛lgbn-lg2｝是以-lg2为首项,2为公比的等比数列,故lgb“_lg2=_lg2・2"T。得乞=一,因此有a”=一。12丿(2丿五、迭代法的渗透迭代法在竞赛中运用多，如本文"三、待定系数法”中的几种类型，均可采用迭代法。对形如①=p，an_；的屈次递推式两边取对数后，若其新的数列首项为0时，即新的数列不为等比数列，这时往往采用迭代法求解出G”的表达式。例5(2002年天津高考)已知｛%
11、｝是由非负整数组成的数列，满足％=0,6/2=3,£+1•an=(an-+2)
