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《常见递归数列通项公式的求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、常见递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重耍的知识z—,而递归数列又是近年來高考和全国联赛的重要题型之一。数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，木文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。一、周期数列如果数列满足：存在正整数M、T,使得对一切大于M的自然数m都有成立，则数列为周期数列。例1＞己知数列满足al=2,an+1=1—,求an。角军:an+1=1—an+2=1一=—,从血an+3=I—=1+an—l=an,即数列是以3为周期的周期数列。乂al=2,a2=l-=a3=-l2,n=
2、3k+1所以an=,n=3k+2(kN)—1,n=3k+3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式an=f(an-1)(n,n)及一个初始项al所确定的数列，且递推式小，各an都是一次的，叫一阶线性递归数列,即数列满足an+1=f(n)an+g(n),其中f(n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n的函数。(-)当f(n)=p时，g(n)=q(p、q为常数)时，数列是常系数一•阶线性递归数列。(1)当p=l时，是以q为公差的等差数列。(2)当q=0,pO时，是以p为公比的等比数列。(3)当pl且qO时,an
3、+1=pan+q可化为an+1—=p(an—),此时{an—}是以p为公比，al—为首项的等比数列，从而可求en。例2、已知：二且，求数列的通项公式。解：二即数列是以为公比，为首项的等比数列。(-)当f(n),g(n)至少有一个是关于n的非常数函数时，数列｛an｝是非常系数的一阶线性递归数列。(1)当f(n)=1时,化成an+l=an+g(n),可用求和相消法求an。例3、(2003年全国文科高考题)已知数列｛an｝满足al=l,an=3n-l+an—1(n2),(1)求a2,a3;(2)证明:an=.(1)解：al=l,a
4、2=3+l=4,a3=32+4=13.(2)证明:an=3n-l+an—1(n2),an—an—l=3n一1,an-1—an-2=3n—2,an—2—an—3=3n—3a4—a3=33,a3—a2=32,a2—al=31将以上等式两边分别相加，并整理得：an—al=3n—1+3n—2+3n—3+…+33+32+31,即an=3n—1+3n—2+3n—3+...+33+32+31+1=.(2)当g(n)=0时，化为an+l=f(n)an,可用求积相消法求an。例4、已知数列｛an｝满足al=—2,an=3nan—1,求通项an
5、。解:al=-2,an=3nan—1an—l=3n—1an—2,an—2=3n—2an—3、a4=34a3、a3=33a2,a2=32al将以上等式两边相乘并整理得：an=3n-3n_13n—2•…・34-33-32-al=—2-32+3+...+n=-2-3(3)当f(n)是非1的常数p时,an+l=pan+g(n)可用两边同除以pn+1得，令bn+l=,则bn+l=bn+,仿照(1)求出bnZ后，再求出an.例5、设有数列｛an｝:al=1,an+1=an+,求an.解：an+1=an+2n+1an+1=2nan+2令b
6、n+l=2n+lan+l,则bn+l=bn+2,即｛bn｝是以2为公差，bl=2al=2为首项的等差数列，故有bn=2+(n—l)-2=2n,从而an=,即an=一般情况，当f(n)不是常数时，仿(3)可求例6、已知｛an｝屮，al=2,nan+l=(n+1)an+2,求｛an｝的通项公式。解：nan+1=(n+1)an+2令bn+l=,贝ljbn+1=bn+，仿(1)可求得bn=bl+2[++•••+]=al+2(1-)=2+2(l-)=4-an=nbn=4n—22、二阶线性递归数列：由三个连续项的关系式an+l=f(an
7、,an-l)(n,nN)及两个初始值al,边所确定的数列，且递推式小，齐an都是一次的，叫二阶线性递归数列。设数列｛an｝满足an+1=pan+qan-1,则其通项an的求法如下：(1)写出递推式所对应的特征方程x2=px+q；(2)解特征方程得到两个根xl,x2；(1)如果xlx2，贝刖设an=axln+bx2n；如果xl=x2，贝MJ设an=(c+dn)xln；(4)由初始值al,a2求出a,b或c,d・例7、已知数列｛an｝满足an+1=—2an+3an-1,且al=l,a2=5,求通项公式an.解：关于an+1=-2
8、an+3an-1所对应的特征方程是x2=—2x+3,其两个根为1和_3。设an=a+b(-3)n,因为al=l,a2=5,所以a+b(—3)=1a+b=5解得a=2,b=,所以an=2+(—3)n.例8、已知数列｛an｝中，an+2=6an+1—9an,且al=l,a2=2,求an解：递归
