例析函数的值域求解策略

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1、例析函数的值域求解策略一、配方法对于求二次函数或可转化为形的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解。例1求二次函数（）的值域。解：函数的定义域为，，从而函数为对称轴为的开口向下的二次函数，，。即函数的值域为。例2已知函数，，求函数的值域。解：令，，，则，，即的值域为。二、不等式法利用基本不等式来求函数的值域的方法。常见的不等式：①，，；②或（、）；③或（、、）；④或或（、）；⑤（、）；⑥或或（、、）；⑦（、、）；⑧（、、、）；⑨（、且、）；⑩（、、、）；当我们使用不等式法求函数的值域时，我们特别需要注意等号成立的条件及是否能取得“”。例

2、3求函数（）的值域。解：当即时，（当即时取得“”）；当即时，（当即时取得“”）；的值域为。例4求函数的值域。解：,当且仅当即或时取得“”，此时函数有最小值；当且仅当即时，，此时函数有最大值；函数的值域为。三、换元法通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解。例5（整体换元）已知，求函数的值域。解：令，，，则故当即也即时，有最小值；当即也即时，有最小值。函数的值域为。例6（整体换元）求函数的值域

3、。解：函数的定义与我为，令，那么，当即也即时，函数有最大值；函数无最小值。函数的值域为。点评：对于形如（、、、为常数，）的函数，我们可以利用换元法求其值域。例7（整体换元）求函数的值域。解：令，则，且，，当即也即（）时，函数有最大值；当即也即（）时，函数有最小值。函数的值域为。点评：当函数中和同时出现时，我们往往考虑对进行整体换元从而将函数的值域问题转化为二次函数的值域问题来求解。例8（三角换元）求函数的值域。解：注意到函数的定义域为，我们不妨令（），则（，），即函数的值域为。点评：对于形如、、的函数的值域，我们常常可以进行三角换元进行求解。四、单调性法对于

4、形如（、、、为常数，）或者形如而使用不等式法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法。例9求函数的值域。解：函数的定义域为，显然函数在其定义域上是单调递增的，当时，函数有最小值，故函数的值域为。例10求函数（）的值域。解：，若用不等式法，那么等号成立的条件为即，显然这样的实数不存在，那么我们就不能使用不等式法来求解了。为了简化函数，我们不妨先进行一下换元，设（），则函数就转化为，，现在我们考查一下函数的单调性：函数在、上都单调递减；而在、上单调递增。那么当，函数是单调递增函数，故当即也即时，函数有最小值，函数的值域为。五、判别式法一般地，形如、、

5、的函数，我们可以将其转化为（）的形式，再通过求得的范围。但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出的范围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误。例11求函数的值域。解：将函数变形为，两边平方并整理得：，，即，解得。故当，函数有最大值，函数的值域为。例12求函数的值域。解：可化为当即时，方程在实数范围内有唯一解；当即时，，，即解得，函数的值域为六、反函数法当函数的反函数存在时，我们可以由原函数和反函数的定义域和值域的互换性通过求反函数的定义域来求得原函数的值域。一般地，当原函数的值域比较难求解而其反函数却较易获得的时候，我们常常用反函数法来求函数的

6、值域。例13求函数的值域。解：函数的反函数为，由得，所求函数的值域为。七、数形结合法通过联想，构造几何模型，以形助数，探求问题的简捷解法。对于形如的最值问题，我们一般可以转化为动直线的斜率问题；对于形如的最值问题，我们一般可以转化为动直线的截距问题；对于形如的最值问题，我们一般可以转化为动点到定点的距离问题。例14若，求的最大值和最小值。解：可化为，那么可以看作圆上的点与原点的距离。由图形可知，的点与原点的距离的最大值为2，最小值为0，故的最大值为2，最小值为0。八、导数法一般地，当函数较为复杂而使用其它方法未能奏效或无从入手时，我们往往可以使用导数法来进行

7、求解。例12求函数的值域。解：当时，；当时，。即在上递增，在上递减。当时，有最大值，无最小值。故函数的值域为。