分类例析恒成立问题的求解策略

《分类例析恒成立问题的求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、分类例析恒成立问题的求解策暁不等式恒成立问题中求参数范围是高考和各类模拟题中的热点，这类题涉及多个知识点，如函数的值域(最值)、常见函数的图像与性质以及复合函数、抽象函数、导数、不等式的性质等。渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法。由于逻辑性、抽象性强，问题的制约条件复杂，变量的潜在约束比较隐晦，因而导致学牛解题时抓不住关键，理不清思路，往往半途而废。恒成立问题的解题的基木思路是：根据己知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用构造函数、合理转化、数形结合等解题方法求解。下面谈谈解决此类问题的常用办法。一、构造函数法依据函数、方程、不等式思想，把不等式恒成

2、立问题转化为函数问题。其思路是：(1)直接构造函数。利用原式不变形处理或仅仅移项整理变形而得。(2)间接构造函数。通过变形把参变量单独分离后再构造，或者通过变更主元实施参变互换后构造新函数。通过构造新函数进而利用函数的图像和性质去分析、解决问题。具体操作如门1•构造函数求最值(值域)常用途径是借助二次函数(判别式)；分离变量转化，即利用极端原理，转化为f(x)>2恒成立？圳f(x)miri或f(x)f(x)max解决;变更主元。例1若不等式x2+ax+l$0对于一切xW(0,■］成立，求a的取值范围。解：由题意令f(x)=x2+ax+l,求其在区间(0,■］上的最小值

3、满足±0即可。Vf(x)二x2+ax+l二x+・2+l-・，FlT于f(x)图像开口朝上，对称轴为x二-■,所以需满足-・W0,f(0)20或0<-■<■,f(-■)20或-・2・。f(■)$0,综上解得a^-Bo本题中的定义域区间一定，但对称轴变化，因而需分类讨论对称轴与区间的位置关系，借助二次函数的单调性处理。另：因为x>0,所以对原式变形整理分离参数a,得x+・±-a对于一切xG(0,■］成立。令f(x)二x+■求其在(0,・］的最小值-a2-a恒成立。求导利用单调性(或者借助对勾函数图象)得f(x)min二■,・・・■2-a即a^-Ho此法体现了分离参数间接构

4、造函数求最值。有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，若按固有的思维习惯，从表面形式上认定主元往往陷入困境。若打破思维定式，突出处于相对次要地位的客元，往往能收到出人意料的效果。2•构造函数画图像即数形结合法。通过转化为熟悉函数或圆锥曲线的方程，利用图像通过运动变化观点来解决，往往会化抽象为具体、化复杂为简单。例2若xW(1,2)时不等式恒(x-1)2

5、,+8)时画出两者图像，如图，显然需满足f(2)Wg(2),即(2-1)2^1og2a,解得aW2,综上所求范围是1某些不等式恒成立问题可以通过构造两个函数，借助于图像来研究：在取同一自变量时上方图像对应函数值大于下方图像对应函数值。本题不等式两边的两个代数式所确定的函数的图像很容易画出來，对照所画出图像可以直接判断，得出结果。若不等式两边或整理后的式子对应的曲线或函数图象较易做出，则利用直观图像，是个好办法。二、逐步消元法当一个题目中有多个变量时，要敢于把其中的一个作为自变量，其余的作为参数來处理，逐步减少参数，使问题得以转化解决。例3函数f(x)是奇函数，且在［T

6、,1］上递增，f(T)二1。若f(x)Wt2-2at+l,对所冇的xw［-l,1］及8丘［-1,1］都成立，求t的取值范围。解：本题含有三个变量，抽象性强，感到无从入手。山题意依序减元化归，逐步消元，可以达到目的。易知f(X)max=l,/.f(x)Wt2-2at+l对所有的xu［-l,1］及匹［-1,1］都成立,等价于1Wt2-2at+l,即t2-2at+120对所冇的aG［-l,1］恒成立。令g(a)=t2-2at=-2ta+t2,Ag(a)二t2-2at二-2ta+t2M0对所有的&w［T,1］恒成立。即g(-1)20g(1)$0；解得t22,或tW-2,或t二

7、0。数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识。近几年高考题中出现了很多关于不等式恒成立问题的创新题型，表现在问法新颖，外在表现多样，但万变不离其宗，在解决含参数不等式的恒成立的数学问题屮要进行•系列等价转化，只要重视转化的数学思想，只耍抓住木质合理转化便可突破解决。（作者单位：河南省潔河市笫四高级中学）