恒成立问题的求解策略

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1、恒成立问题的求解策略高考数学复习中的恒成立问题，把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③分离变量型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤数形结合。一．一次函数型给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f

2、(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例1．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解：令，则原问题转化为恒成立（）。当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值范围为。二．二次函数型（1）判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

3、一般地，对于二次函数,有1）对恒成立;2）对恒成立例1．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。所以实数的取值范围为。若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例2．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则当时，恒成立当时，显然成立；当时，如图，恒成立的充要条件为：解得。综上可得实数的取值范围为。（2）、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立2）恒成立例3．已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则由题可知对任意恒成立.令，得.而∴∴即实数

4、的取值范围为。例4．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得.而抛物线在的最小值得注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。三．分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2）恒成立已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的

5、范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,∴即上式等价于或解得.注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos2x<5-4sinx+即a+1-2sin2x<5-4sinx+,令sinx=t,则t[-1,1],整理得2t2-4t+4-a+>0,(t[-1,

6、1])恒成立。设f(t)=2t2-4t+4-a+则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在[-1，1]内单调递减。只需f(1)>0,即>a-2.(下同)四．根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。例1若f(x)=sin(x+)+cos(x-)为偶函数，求的值。分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。解：由题得：f(-x)=f(x)对一切xR恒成立，sin(-x+)+cos

7、(-x-)=sin(x+)+cos(x-)即sin(x+)+sin(x-)=cos(x+)-cos(x-)2sinx·cos=-2sinx·sinsinx(sin+cos)=0对一切xR恒成立，只需也必须sin+cos=0。五．数形结合若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例1、当x(1,2)时，不等式(x-1)2

8、故可以通过图象求解。解：