有关恒成立问题求解策略

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1、关于恒成立问题的求解策略浙江德清高级中学谢晓强邮编:3132002013年的高考已然结束,但余热尚存,它留给我们的不仅仅是过去,更是给我们14年的高考提供了复习的方向和思考的空间.回顾13年的高考,在众多省市的考卷当中,我们依然可以发现与f(x)>g(x)这类题目相关的存在性和恒成立问题,如全国新课标卷、辽宁卷、天津卷等.这类题目在考查的知识点上都围绕着函数的单调性,极值和最值问题展开;结合众多数学思想方法的应用,在方法和技巧性方面向纵向深入,在知识的结构方面向横向扩展.综合考查了学生解决和分析问题的

2、能力.因此,这类题目往往成为备考的重点和热点.又由于在题面上更多的含有lnx,,以及字母参数而显得难度陡增,思维量增大.那么如何有效的解决这类问题,从而给学生提供行之有效的解决办法呢?有以下几个可以参考的途径提出来和大家交流.一.掌握通法所谓通法是指学生容易想到的,使用频率较高的,应用范围较广的一类典型方法.这类方法由于入口容易,过程便于操作而为学生首选.大体上有两种:一种是将转化为即求;而另一种是大家熟悉的“参变量分离”.例题.(2013全国新课标卷II理21题)已知函数分析:(1).略(2).(利

3、用参变量分离)令,则若有如图所示①.当时,显然成立,②.当时,(〝=〞不能同时取到)综上所述一.熟记结论在导数学习的这一部分内容当中,有许多被我们熟悉的而且是比较重要的“基本不等式”这些不等式不仅结构形式简洁,兼有数形结合的特点,而且含有高等数学的知识背景.而有些题目正是对这些知识点的下放和巧妙地包装.若能对它们进行合理的运用,将会在解题的道路上为我们提供有力的支撑.如上述考题可如下求解.分析:由于可得(〝=〞不能同时取到)常见的重要不等式及其转化如下:在上述关系中如果对x赋予不同的值或代数式便会得到

4、其它有用的不等关系:如令,则会产生及等.这种代换的技巧在解数列不等式中发挥着重要的作用.另外在今年的辽宁卷最后一道题所给出的的参考解答中还用到了诸如这样的不等式.那么是否提醒我们在复习的过程中应该有意识的去归纳和整理呢.二.合理分拆整体和局部是同一事物的两个方面.有些数学问题,如果单纯从整体作处理难以解决时,就必须先研究问题的某一部分,对问题进行局部的处理.那么局部的调整正是局部处理的一个方面.它能够重新调整原来的结构,使得这种结构更加清楚和有序,从而使得解题路线豁然开朗.因此,对原来的式子合理的分拆

5、正是局部调整的一种重要思维形式.例题.已知.分析.将从而求右侧的最值难以奏效.因此可考虑将原式转化为当不合题意,舍去.当时,令则在矛盾舍去合理分拆有别于通法>0.它是在原有的基础上进行改造和加工,将原式的结构进行重组.从而使知识的运用更加合理简便.特别是在含有指数,对数三角等式子的函数当中将他们分离出来是不错的选择和突破.一.巧用放缩放缩是一种解题的技巧,更是一种解题的能力.通过放所缩它可以将陌生的问题转化为熟悉的问题;将复杂的问题转化为简单的问题,通过合理的跳步,能将题面所掩盖的信息更直接的表现出来

6、,同时也更能深入地暴露题目的隐含条件.例题:(12年全国新课标文21题)已知分析:(1).略(2).当令若当,.该题在文献[3]的参考解答中给出的评价是:“本题考查了逻辑推理能力和运算能力以及转化意识,难度很大”;但从上述分析过程中我们看到通过放缩来确定k的大致范围,再反例验证确定k的取值,可以大大缩短解题步骤.当然放缩手段很多,可以借助于上述的基本不等式,也可以通过式子的添项和舍项等来进行;还可以取特殊值来缩小参数字母的范围等.当然这类题目的解答策略也不仅仅上述几个,诸如还有极端花思考:将原题转化为

7、分别求两个函数的最值等,在处理有些题目中也是可行的.波利亚说过,一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法:没有任何一道题是可以解决得十全十美的,总剩下些工作要做,经过充分的探讨与钻研,我们能够改进这个解答,而且在任何情况下,我们总能提高自己对这个解答的理解水平.参考文献:[1]吴成强.例谈一种分离函数技巧的应用中学数学教学参考2013.9[2]薛金星.2013年全国及各省市高考试题全解陕西人民教育出版社2013.6[3]薛金星.2012年全国及各省市高考试题全解陕西人民教育出版社2012.6[4]罗

8、增儒.数学解题学引论陕西师范大学出版社2001.7