求解有关恒成立、存在性问题四种策略

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1、求解有关恒成立、存在性问题四种策略对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现。如何突破这一难关呢？关键是细心审题及恰当地转化。现就如何求解恒成立、存在性问题中的参数问题加以分析。方法1:分离参数法例1.设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex_ax，其中a为实数。若f(X)在(1，+°°)上是单调减函数，且g(X)在(1，+°°)上有最小值，求a的取值范解：因为fX；=-a,gx)=ex-a，由题意得f'(x

2、<0对xE(1，+oo)恒成立，即a彡对xE(1，+oo)恒成立，所以a彡1。因为g'(x)=ex-a在xE(1，十⑺)上是单调增函数，所以g'(X)>g'(1)=e-ao又g(x)在(1，+°°)上有最小值，则必有e_ae。综上，可知a的取值范是(e，+°°)o点评：求解问题的切入点不同，求解的难度就有差异。在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并集，本题解法需要取交集。一般而言：在同一问题中，若是对自变量作分类讨论，其结果要取交集；若是对参数作分类讨论，其结果要取并集。方法2:构造函数法例2.已知函数f(x)=，若

3、f(x)

4、彡ax，则a的取

5、值范围是()。A.(-⑺，0]B.(-⑺，1]C.[-2，1]D.[—2，0]解：当x<0时，

6、f(x)

7、》axx2-(2+a)x^O,对x<0恒成立。记g(x)=x2-(2+a)x=(x-)2-。当0时，

8、f(x)

9、^axln(1+x)_axX)a<，对x〉0恒成立。令G(x)=，则G'(x)=。设t=x+l，则t〉l。记L(t)=-lnt，则L'(t)=-1，D正确。点评：结合函数图象来求解比起用常规方法求解更为直观、简单。方法4:等价转化法例4•设f(x)=+xlnx,g(x)=x3-x2-3o(1)如果存在xl、x2G[0,2],g(xl)

10、-g(x2)成立，求满足上述条件的最大整数M。(2)如果对于任意的s、te[，2]都有f(s)(t)成立，求实数a的取值范E解：(1)存在xl、x2£[0,2]使得g(xl)-g(x2)成立，等价于[g(xl)-g(x2)]max^Mo因为g(x)二x3_x2-3,所以g'(x)=3x2—2x=3x(x-)。由g'(x)〉0得x，由g'(x)0，所以函数h(x)=x~x21nx在区间［，1］上单调递增，在区间［1，2］上单调递减。所以h(x)max=h(1)=1，即实数a的取值范围是［1，+°°］O点评：如果一个问题的求解中既有存在性问题又有恒成立

11、问题，这时需要深刻理解题意，对问题作等价转化。这里一定要注意转化的等价性、巧妙性。在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想恒成立问题是求最大值还是最小值，这样就可以把相应的存在性问题转化为求最值问题。