恒成立存在性问题

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1、复习专题3--恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化：恒成立；2、能成立问题的转化：能成立；3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.4、设函数、，对任意的，存在，使得，则5、设函数、，对任意的，存在，使得，则6、设函数、，存在，存在，使得，则7、设函数、，存在，存在，使得，则8、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；9、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；例题讲解：题型一、常见方法1、已知函数，，其中，．1）

2、对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；【分析：】1）思路、等价转化为函数恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．2）思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值，即只需满足即可．简解：（1）由成立，只需满足的最小值大于即可．对求导，，故在是增函数，，所以的取值范围是．2、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，；3/3方法2：变量分离，或；方法3：变更主元，，简解：方法1:对求导，，由此可知，在上的最

3、大值为与中的较大者．，对于任意，得的取值范围是．3、已知两函数，，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为解析：对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，∴题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。解：不等式即,设，则在[-2,2]上恒大于0，故有：或2、已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若上恒成立，求的取值范围；O(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即

4、可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。(Ⅱ)略解：由(Ⅰ)知：，，在上单调递减，在上恒成立，，只需，（其中）恒成立，由上述②结论：可令,则，，而恒成立，。题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）1、当时，不等式恒成立，则的取值范围是.解析:当时，由得.∴.题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法））1、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是________解析：对,不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知，即。2、已知函数，在恒有，求实数的取值范围。分析：为了使在恒成立，构造一个新函数，则把原题转化成左边二次函数在区间时

5、恒大于等于的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。解：令，则对恒成立，而是开口向上的抛物线。①当图象与x轴无交点满足，即，解得。3/3②当图象与x轴有交点，且在时，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：解得，故由①②知。小结：若二次函数大于0恒成立，则有，同理，若二次函数小于0恒成立，则有。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上；若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.1、存在实数，使

6、得不等式有解，则实数的取值范围为______。解：设，由有解，，又，∴，解得。2、已知函数存在单调递减区间，求的取值范围解：因为函数存在单调递减区间，所以有解.即能成立,设.由得,.于是,,由题设,所以a的取值范围是小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。①不等式对时恒成立，。即的上界小于或等于；②不等式对时有解，。或的下界小于或等于；③不等式对时恒成立，。即的下界大于或等于；④不等式对时有解，.。或的上界大于或等于；3/3