恒成立、存在性问题集锦

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1、近年高考热点及难点问题——恒成立、存在性问题题型及解法“存在性”与“恒成立”问题是近年来高考中的热点及难点问题，这类题目是逻辑问题，也是对选修中“推理与证明”的理性的考查，表现形式一般是函数的问题，对于这类问题的区分与解法下面举例说明。已知函数,函数.易知,。（1）若对任意的，总存在，使成立，求的取值范围.略解：由题意，，解得，.（2）若存在，使得成立，求的取值范围.略解：只要两个函数的值域交集不空即可，即，∴.（3）若存在，使得成立，求的取值范围.略解：只要，即，∴.（4）若对任意的，总存在，使

2、成立，求的取值范围.略解：只要，即，∴.（5）若对任意的，总存在，使成立，求的取值范围.略解：只要，即，∴.（6）若对任意的，都有成立，求的取值范围.略解：（这是恒成立问题）只要，解得.（7）若对任意的，都有成立，求的取值范围.5略解：（这是恒成立问题）只要，解得.（8）若存在，使得成立，求的取值范围.略解：变形—构造，存在，即，∴.（9）对任意的，都成立，求的取值范围.略解：，解得.（10）对任意的，都成立，求的取值范围.略解：，解得.逻辑关系是数学推理的本质，只有认清逻辑关系，才能把问题转化，

3、才能更简约求真，这是对核心概念（函数即对应）的体现。附：例1．设函数，其中，。（1）若，求曲线在点（1，）处的切线方程；（2）是否存在负数，使对一切正数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。（1）由题意可知：当时，，则，曲线在点（1，）处的切线斜率，又，∴所求切线方程为（2）设函数，假设存在负数，使对一切正数都成立。即当时，的最大值小于等于零。5令可得（舍）。当时，单调递增；当时，单调递减。∴在处有极大值，也是最大值。∴解得，∴存在负数，它的取值范围是。注：此题若改为是否存在负数，

4、使得对任意的，都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。只需在区间上，即可。例2．已知函数，其中。若在区间上，恒成立，求的取值范围。方法一．（最值法），令，解得或，以下分两种情况讨论：（1）若，则，当变化时，的变化情况如下表：0＋0－极大值当时，等价于，解得∴（2）若，则。当变化时，的变化情况如下表：0＋0－0＋极大值极小值当时，等价于，解得或∴，综上可知的取值范围是（0,5）5方法二．（分离参数法）原式即，当时，，则；当时，恒成立，令，。∵∴在区间上是增函数，，则。当时，恒成立，令，

5、，∵∴在区间上是增函数，，则。综上，，∵∴的取值范围是（0,5）例3．已知,不等式在区间上恒成立,求的取值范围.解：设，（1）若，，函数为增函数，则在区间上∴∴不等式在区间上不恒成立。（2）若，在区间上不恒成立（3）若，，在区间上，函数为增函数，∴∴，∴区间上定有使不等式在区间上不成立。（4）若，则在区间上，函数为减函数∴∴，∴区间上不等式恒成立。综上，记为所求。注：用分离参数法无法解决。由可知，应从0,1分区间考虑例4已知函数的最小值为0,其中。（1）求的值；（2）若对任意的有成立，求实数的最小

6、值。（1）的定义域为，，由，得，5当变化时，的变化情况如下表：-0+极小值因此，在处取得最小值，故由题意，∴。（2）当时，取，有，故不合题意。当时，令，即，令，得1．当时，在上恒成立，∴在上单调递减。从而对任意的，总有，即在上恒成立。∴符合题意。2．当时，，对于，故在上单调递增。∴当取时，，即不成立。∴不合题意。综上，的最小值为。恒成立问题（或存在性问题）可分三种情况，1．分离参数，这是最简单的；2．需分类讨论的分离参数，各种情况求出的参数范围应求交集；3．以上二法均不能解决，则用例3或例4的方法

7、（作差，改变函数形式以利于求导）。5