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1、关于恒成立问题的求解策暁2013年的高考已然结束，但余热尚存，它留给我们的不仅仅是过去,更是给我们2014年的高考提供了复习的方向和思考的空间•回顾2013年的高考，在众多省市的考卷当中，我们依然可以发现与“f(x)>g(x)”这类题目相关的存在性和恒成立问题，这类题目在考查的知识点上都围绕看函数的单调性、极值和最值问题展开，结合众多数学思想方法，在考查内容方面向纵向深入，而在知识的结构方面向横向扩展，综合考查了学生解决和分析问题的能力•这类题目由于在题面上包含了诸如lnx,sinx,cosx……混合形式以及字母参数，难度陡增，思维量增大•那么如何迅速寻
2、找这类问题的突破口，从而给学生提供行之有效的解决办法是我们复习备考的主要内容之一.一、掌握通法所谓通法是指学生容易想到的，使用频率较高的，应用范围较广的一类典型方法•这类方法由于入口容易，过程便于操作而为学生首选•大体上有两种：一种是将f(x)>g(x)转化为h(x)二f(x)-g(X),即求h(x)min>0；而另一种是大家熟悉的“参变量分离”•【例1](2013全国新课标卷II,理，21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(1)设x二0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调区间；(2)当mW2时，证明：f(x)>0.(2)(利用参变量分
3、离)Vf(x)二exTn(x+m)>0,・*.m-m),Th'(x)=eex?ex~1.若h‘(x)二0,解得exO二-x0・如图所示.%1当xOW-ITl时，:.hf(x)20,Ah(x)在(x0,+8)单调递增，h(x)>h(-m)二ee-m+mMeexO+xO二e-x0+ex0$2("二”不能同时取到).%1当xO>-m时，h(x)在(-m,x0)递减，在(x0,+°°)递增，Ah(x)Mh(x0)二eexO-xO二e-x0+ex0$2(“二”不能同时取到).综上所述，niW2・二、熟记结论在导数学习的这一
4、部分内容当中，有许多被我们熟悉的而口是比较重要的“基本不等式”，这些不等式不仅结构形式简洁，兼有数形结合的特点，而且含冇高等数学的知识背景•冇些考题正是对这些“高等知识”进行了巧妙地包装和改造，这些含有高等数学知识背景的不等关系，若能对它们进行合理地运用，将会在解题的道路上为我们提供有力的支撑.【例2】(同例1)且由xTMlnx可得x+lMln(x+2),・・・ex2x+121n(x+2)(“二”不能同时取到).・••当mW2时，In(x+m)Win(x+2)〈ex得证.由此可以看出该解题过程的高效和简洁，常见的重要不等式及其转化如下：在上述关系中，如果
5、对x赋予不同的值或代数式，便会得到其他有用的不等关系：如令x=lln,则会得到In(l+lln)Wlln及(1+lln)n等•这种代换的技巧在解数列不等式屮发挥着重要的作用.另外，在2013年的辽宁卷压轴题所给出的参考解答中还用到了诸如"1-I12x2^cosx^l-I14x2,xe(0,1)”这样的不等式•那么我们是否应该在复习的过程中有意识地去归纳和整理这些“基本不等式”呢？三•合理分拆整体和局部是同一事物的两个方面•冇些数学问题，如果单纯从整体的角度去处理难以解决时，就必须先研究问题的某一部分，对问题进行局部的处理•而局部的调整正是局部处理的一个方
6、面，它能够重新调整原来的题面结构，使得这种结构更加清楚和有序，从而使得解题思路豁然开朗.因此，在上述方法难以奏效的情况下，有必要对原来的式子进行合理分拆和重新组合.【例3】已知f(x)二1+xla(1-x)Inx,求证：对xW(0,1),恒有f(x)<-2.最值较难，因此可考虑将原式转化为lnx+2a(1-x)ll+x<0.Vxe(0,1),・•・当放0时不合题意，舍去.当a>0时，令g(x)=lnx+2a(1-x)11+x,则于(x)=x2+(2-4a)x+llx(1+x)2.令(x)二0.当AWO时，0g(x)在(0,1)递增，Ag(x)>g(1)=
7、0.当△>(),即a>l时，：•两根xl,x2满足xlx2=l,故y二g(x)在(0,xl)递增,(xl,1)递减..•.xW(xl,1),g(x)>g(1)二0,孑盾，舍去.合理分拆冇别于通法h(x)二f(x)-g(x)>0,它是在原冇的基础上进行改造和加工，将原来混乱的形式结构进行调配，从而使知识的运用更加合理简便•特别是在含有指数、对数、三角等式子的函数当中，将它们分离出來是不错的选择和突破.四、巧用放缩放缩是一种解题的技巧，更是一种解题的能力•通过放缩它可以跳过纷繁复杂的运算，回避一些由于字母带来的过多讨论，舍弃一些常规套路的构造思想，在解题中是
8、一种大胆的创新•借助于放缩达到合理的转换，能够将题面所掩盖的信息更直接地表现出來
