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《不等式恒成立问题的求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、不等式恒成立问题的求解策略内容摘要：不等式恒成立问题从多个角度考查考生的素质和能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方而也起到了积极的作用，故备受命题专家青睐•近年来在江苏高考及各市模拟试题中更是屡见不鲜（07年第10题，08年第14题，10年第19题）.关键词：不等式化归与转化数形结合恒成立一题多解正文：新课程改革开始，出现了众多注重能力考查的新颖试题，不等式恒成立问题便是其中一种题型，此类问题由于题型多样（与集合，函数，不等式，数列，三角，几何，导数，向量等结合起來），冇利于从多个角度考查考生的索质和能力,在培养学生思维的灵活
2、性、创造性等方面也起到了积极的作用，故备受命题专家青睐•近年来在江苏高考及各市模拟试题中更是屡见不鲜（2007年第10题,2008年第14题，2010年第19题）.不等式恒成立问题屮参数取值范围的确定，学生往往找不着思路，无从下手，得分偏低。卜•面结合在高三复习中遇到的问题，解决这类问题的方法往往很多，但都离不开基本的数学思想方法，下面从数学思想方法角度来解决不等式恒成立问题：一、化归与转换型：化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的
3、思想•等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法•等价转化是解决不等式恒成立问题最为常见的方法。1、转换成主元法（一次函数）：处理含参不等式恒成立的某些问题，已知参数变量的范围，若能实时的把主元变量和参数变量进行换位，转化成一次函数fx）=ax+b，问题往往容易得到解决。【例1】当/?g［0,4］时关于x不等式x2+/?x>4%+/?-3恒成立，求实数x的取值范围。解析：在不等式中出现两字母x,p,关键是该把哪个字母看成变量，另一个看成常数，显然可将P看成变量
4、，问题化归为［0,4］内关于p的一次函数问题处理解：原不等式(x-l)p+x2-4x+3>0设/(p)=(x-l)p+x2-4x+3是关于p的一次函数则
5、/(0)>°,即x的取值范ffl(-oo,-l)U(3,+oo)04)>0【点评】：处理含参不等式恒成立的某些问题，构造以该参数为口变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围，往往能使问题降次、简化。若y=/(%)在［m,n］内忙(有/⑴>0,则有卩缪，同理若y=/W在［m,n］内恒冇/(兀)<0,屮/?)〉0则有严2、转换成二次函数问题：构造二次函数，结合二次函数利用实根分布
6、等知识求出参数的范围：⑴(判别式法)若ax2+bx+c<0(a工0)恒成立，则有<°；若A<0ax2+hx+c>0(°H0)恒成立，则有J">；A<0【例2】已知函数y=g［x2+(a-)x+a2］的定义域为R,求实数a的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式/+@_1)兀+°2〉o对一切实数恒成立，］_即有A=(^-l)2-4tz2<0解得Qv—或所以a的取值范围为(一8，一1)2(£，+8)【点评】：要注意二次函数的开口方向，不能忽略不计。⑵若是二次函数在指定区间上恒成立问题，还可以利用韦达定理及实根分布等知识来解决【例
7、3】已知+6ZX+3-6T,若xel-2,2JJ(x)>0恒成立，求日的取值范围.解析：考虑代方的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即AWO或<—2.is2或《/(-2)>0/(2)>0-->22/(-2)>0/(2)>0即日的取值范围为[-7,2].【例4】若不等式x2++1>0对于一切xg[O,-
8、]成立，求&的取值范围。解析：转化成为二次函数屮的动对称轴与定区间的问题，再对其展开分类讨论解：(法一)设/(x)=x24-ax+l,则其对称轴为x=--当-->-,即6/<-1,则/(
9、兀)在e[0,-]是单调减函数，应有/(-)>0,即22225,WQ5—12当--<0,即心0,贝lj/(x)在e[0,-]是单调增函数，应冇/(0)=1>0恒成立,22BP0-->0,即—1"50,则/(--)=—-—+1=1-—>0恒成立，故222424-1<«<0综上所述，6Z>--2【点评】：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题，可以考虑根与系数分布分布情况，要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就可以.3、分离参数法：若等式或不等式中已知两个变量，其中一个变量的范围，另一个变量的范
10、围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别至于等号或不等式的两边，将恒成立问题转化为函数的最值，一般地将题目中参数分离出来，化归成a>f(x)(或者a/max(x)(或者a
