不等式恒成立问题的求解策略-论文.pdf

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1、《解题研究；丁；Y六j{摘要：恒成立问题是高中数学教学中的一个重点是一般题型的相反过程，所以不妨换位思考，变参数和难点．恒成立问题能够很好地考查函数、数列、不为主元，将其转化为一次函数的恒成立问题，我们就等式等知识，以及转化、化归等数学思想．因此，涉及可以利用一次函数的图象轻松解题．所以，对于给出恒成立的问题越来越受到高考命题者的青睐．针对高了参数范围的恒成立问题，常常把参数视为主元，把中数学中的不等式恒成立问题，从解题方式的角度进行主元作为已知数，即把原题视为参数的函数，从函数分类，并通过实例探讨各

2、类不等式恒成立问题的解法．的角度解答．关键词：不等式；恒成立问题；求解策略例1对于满足0≤P≤4的所有实数，求使不等式+px>4x+P一3都成立的的范围．高中数学恒成立问题渗透着换元、数形结合、函分析：题中给出了参数的范围，可以把P看成主数与方程等思想方法，有利于综合考查学生的解题能元进行考查，得到关于字母P的一次函数．力和培养学生思维的灵活性、创造性．因此，恒成立解：将不等式整理，得(—1)p+一4x+3>0．问题成为近年来高考的热点问题．而含参数的不等式令厂(P)=(一1)p+一4x+3，恒成立问

3、题是高中教学的一个重点与难点，同时也是要使不等式f(P)>0在0≤P≤4时恒成立，只高考和各类考试的热点．解题时常用到函数的单调性、不等式、方程、函数最值的求法等知识．有利于考查需不等式组≥’成立．学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵活性、创解得>3或<一1．造性等方面起到了积极的作用．解题时，常用到下面【点评】某些含参不等式的恒成立问题，在分离参的充要条件．数时遇到困难的情况下或者顺利分离出参数和变量，定理：设函数厂()的最大值是，最小值是m．但是在求最值遇到麻烦时，可把变元和参数换位，再(1)不

4、等式厂()≥k恒成立的充要条件是m≥k；结合其他知识，将会起到出奇制胜的效果．例如，此(2)不等式厂()≤k恒成立的充要条件是≤k．题将参数看成主元，可以先在草稿纸上作一次函数的根据这个定理，可将恒成立问题转化为求函数最值图象，要使该一次函数在区间[0，4]恒大于0，可以从的问题．下面介绍几种不等式恒成立问题的解法．图象满足不等式组≥，一、反参为主法二、配方法恒成立问题一般都是已知变量的取值范围，求参数的取值范围．而有些特殊问题却是已知参数的取值用配方法解恒成立问题时，要先分析函数的结构，范围，求变量

5、的取值范围．我们发现这种问题实际就将未知数转化成完全平方的形式，然后利用偶次式非收稿日期：2014—03—03作者简介：严波(1975一)，-k-，辽宁沈阳人，中学高级教师，主要从事高中数学教学研究．2014：~知期韭圜解题研究l■；l；负的性质来求函数的最值．c一c≥0．最当≥0时，f()≤(+c)．例2已知函数厂()：笪+l，若对于任意(2)由(1)知，C≥l61．∈[1，+。。)，不等式f()>0恒成立，试求实数0的下面分两种情形讨论：当C>I6I时，有M≥范围．分析：因为∈[1，+∞)，要使f

6、()>0恒成立，c2一b2：一c2一b2=一等c+6．’只需++0>0即可．令=争C，则一<<，有C十D=2一十I一．解：因为∈[1，+，要使不等式f()>0恒成立，只需++0>0．令g(f)=2一，则其值域是(一∞，3)．分离参数，得口>一2x=一(+1)+1．因此，当c>l6I时，M的取值范嗣是l3，+。。)；当∈[1，+∞)时，函数g(x)=一(+1)+l是减函数，其最大值是一3．当C=l6l时，由(1)知，c：2，6=±2．根据定理有0>一3．此时-厂(c)一f(b)=一8或0，c一6：0．【

7、点评】分析函数的结构，把分式恒大于0，转化从而f(c)一f(6)≤c一6．成分子恒大于0，再将参数分离出来，根据定理，将综上，M的最小值是．恒成立问题转化成求函数的最值问题，然后利用配方【点评】此题根据一元二次不等式恒成立的条件先法确定函数的最大值．配方法适用于未知数容易全部列出不等式，即关于未知数的二次式的形式+『J≤放进偶次式里面的不等式．+6+c恒成立，然后由△=(6—2)一4(C一6)≤0三、判别式法进行求解．二次函数、一元二次方程及一元二次不等式者四、求导数法有着密切的联系，一元二次不等式问

8、题大都可以转化利用导数分析法求解恒成立问题，需要利用函数为二次函数或一元二次方程问题，并借助二次函数的和导数的关系来讨论函数的单调性．因此，在解答时图象或一元二次方程的判别式解题．判别式法求解不一般是先求出函数的导数，判断导函数的符号，从而等式恒成立问题的关键是构造关于未知数的二次式．确定函数在所给定区间的最值，找到指定区问上函数一般情况下，如果一个一元二次不等式在实数集R上的变化趋势，通过函数值的变化趋势，根据区间的端恒成立，用判别式法求解要相对简单些