例析求函数值域的方法

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1、例析求函数值域的方法函数的值域是函数三要素之一,求函数的值域是深入学习函数的基础,它常涉及多种知识的综合应用,下面通过例题讲解,多方探寻值域的途径。一、直接法:(从自变量的范围出发,推出的取值范围)例1.求函数的值域。解:因为,所以,所以函数的值域为。二、配方法(是求二次函数值域的基本方法,如的函数的值域问题,均可使用配方法)例2.求函数()的值域。解:,因为,所以,所以所以,即所以函数()的值域为。三、分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法)例4.求函数的值域。解:因为,所以,所以,所以函数的值域为。四、换元法(运

2、用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,如(、、、均为常数,且)的函数常用此法求解。例4.求函数的值域。解:令(),则,所以因为当,即时,,无最小值。所以函数的值域为。五、函数的单调性法(确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域,形如求函数的值域(时为减函数;时为增函数))例5.求函数的值域。解:因为当增大时,随的增大而减少,随的增大而增大,所以函数在定义域上是增函数。所以,所以函数的值域为。六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数的值域。解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为,对函数进

3、行变形可得,因为,所以(,),所以,所以,所以函数的值域为七、数型结合法(函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法)yxo21-1例7.求函数的值域。解:,,图像如右图所示,故原函数的值域为除此之外,还有反函数法(即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域)和判别式法(即把函数转化成关于的二次方程,通过方程有实根,,从而求得原函数的值域,需熟练掌握一元二次不等式的解法),在今后的学习中,会具体讲述。

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