用导数处理二元不等式问题

《用导数处理二元不等式问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、中学生数学·2012年4月上·第439期(高中)．1c高安徽省灵壁中学(234200)侯立刚2011年安徽高考理科数学试卷第19题是解不等式8-4b~一1毒，可得6≥．围一个二元不等式的证明问题，很多同学不能适应．其实，作为研究函数的重要工具——导数，综上，b的取值范围是[詈，3-oo)．他同学们是相当熟悉的，用导数解决一元不等式注本题的不等式中含有两个变量z，问题是一种常见的题型，而用导数处理二元不等式的问题没有引起人们的重视．本题若用导，其实它们属于不同的函数，各自都是一元函数，可以分别按照一元函数处理．数证明就省去繁琐的恒等变形，显得亲切自例

2、2(2010年辽宁卷)已知函数_厂(z)一然．用导数研究二元不等式问题常见如下三种(n+1)1nz3-ax3-1．类型．(I)讨论函数，(z)的单调性；一、貌似二元不等式。其实就是一元函数(Ⅱ)设a≤一2，证明：对任意z，．27z∈(0，问题3-。。)，lf(x)一f(xz)l≥4Iz一zzI．例1(2010年山东卷)已知函数_厂(Lz)一分析(I)f(Lz)的定义域为(0，3-一)，lnx—n+一1n∈R)．，(z)一盟十2口z一—2ax23-—a3-1．(工)当n≤÷时，讨论厂(z)的单调性；当n≥O时，f(1z)>O，(Ⅱ)设g()一X一2b

3、x3-4．当口一÷时，故，(z)在(0，3-一)单调递增；当口≤一1时，f(z)dO，若对任意X∈(O，2)，存在z∈E1，2]，使f(x)故，(-z)在(0，3-。。)单调递减；≥g(zz)，求实数b的取值范围．当一10；(o，2)上的最小值．因为厂(z)一i1-am，z∈~／a3-1，3-oo)，

4、(-z)<0，一一二———笋—一(X>0)，所以当a一{时，故厂(z)在(O，a-F1)单调递增，在z)一一，从而f(x)：Cgj．(O’1)上是减函数，在(1，2)上是增函数，√一，+一)单调递减．所以对任意z∈(0，2)，都有，(z)≥，(1)(Ⅱ)不妨假设X≥X。，由于a≤一2，一一故由(工)知，(Lz)在(O，3-一)单调递减，所2’以，(1)≤f(z2)，又g(1z)一z一2bx+4，这样lf(x)一f(xz)1≥4lz一zzI就等价所以g(z)一2x一2b，X∈[1，2]，于f(x2)一f(z1)≥4x1—4xz，即f(xz)3-4x2

5、≥①当6<1时，g(z)≥g(1)一5—26>0，不f(x1)3-4x1．合题意；令g(z)一厂(z)3-4x(z>O)，②当b∈[1，2]时，g()≥g(6)一4一b。≥贝ug()一旦+2+40，不合题意；③当b∈(2，3-。。)时，g(z)≥g(2)一8—一±≤二46．网址：ZXSS．chinajourna1．net．crl●38●电子邮箱：zxss@chinajourna1．net．cn中学生数学·2012年4月上·第439期(高中)一二≤o，分析要证(1+m)>(14-)，』只要证In(1+)>In(1+n)，从而g(z)在(0，+O

6、单调递减，只要证ln(1H-m)>ln(1十n)．所以g(x2)≥g(z】)，高即f(z2)+4X2≥f(z1)+4X1，设函数厂(z)一÷1n(14-x)(z≥2)，故对任意z，z∈(O，+一)都有J_厂(1z)一毒f(z2)I≥4Jl—z2J．则厂(z)一一ln(14-x)4-1·1囤注本题要证明的不等式中虽然含有z，Xz两个变量，利用函数的性质就可以转化成一一击2[L14-r_x一1⋯n(14-x)]，饱元函数的问题，通过构造一元函数就使问题得由≥2，得0<<1，ln(14-z)≥ln3~l，以解决．例3(2007年陕西卷)，()是定义在(0

7、，所以厂(z)f()，厂(z)≤0，对任意正数口、b，若aln(14-)，()．从而(14-)”>(14-”)．(A)a_厂(6)≤≤6f(a)(B)bf(口)≤nf(6)注本题中涉及的两个量都是正整数，必(C)af(n)≤6f(6)(D)bf(6)≤nf(口)须构造可导函数才可以利用导数来研究函数分析由已知构造函数F()一生(>o)，的单调性，从而得出对应数列的单调性．Z例6(2011年安徽芜湖三模卷)已知于

8、是F，()一40，x，(z)一lnz—n-z。一bx．(工)若n一一1，函数f(z)在其定义域内故F(z)一在(o，十一)