不等式问题中导数处理策略例析

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1、不等式问题中导数处理策略例析摘要：导数是高中数学选修知识中一个重要知识块，应用广泛。本文探讨以导数为工具解决可借助函数处理的不等式的相关问题。关键词：不等式函数导数导数是高中数学选修知识中一个重要知识块，应用广泛,教材中重点介绍了利用导数求函数的单调性、极值、最值和切线的方程等基本知识，但在高考中，为了体现以考查能力立意的命题思想，导数的相关综合题目通常都以其它数学分支如数列，不等式等为背景命制，以区分学生“转化与化归”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想的应用能力。本文探讨了以导数为工具解决可借助函数处理的不等式的相关问题.一、题目中本来就出现的函数，绝对不能忽视

2、例1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x,求证：当x>时，恒有1-

3、g(x)恒成立，求实数t的取值范围.解题分析:f(x)

4、l

5、-2x-t在［0,1］上的最大值小于或等于零.解后思：左右均随同一变元X而改变，适合采用作差构建新函数，如果函数中含有参数，分离参数是处理这类问题时另一个应当考虑的问题.三、不等式中含字母系数，作商可实现字母系数的分离,采用作商构建新函数例3•设二(1,x-3),=(-y,x),若丄，且对任意xe(1,)时，y>mx-16恒成立，求实数m的取值范围.解题分析：本题可转化为求f(x)=y-mx+16=x-(3+m)x+16在区间(1,

6、)的最小值来做，但直接求其最小值需分多种情况讨论，过程太复杂，若能注意到系数xe(1,),则可把参数m与变量x分离，从而迅速求岀其最值.解:••丄,・.•=0,/.y=x-3x..••当1mx-16恒成立,即m+3Sx+恒成立.记f(x)=x+(10,.・・当x=2时，f(x)=f(2)=12,,m+3<12,得m<9,的取值范围为解后思：最值法是解不等式恒成立问题的一种非常重要的方法，其解题原理是:f(x)>a恒成立？圳f(x)>a;f(x)

7、立？圳f(x)sa・此方法特别适用于解f(x)的最值容易求岀的不等式恒成立题型，对于某些最值不易求岀的问题，我们可以考虑先实行参变量分离再求其最值.数列是特殊的函数，换元后构造函数证明例4•证明：对任意的正整数n,不等式ln(+1)>■都成立.解题分析：本题是与自然数相关命题，很多学生习惯性思考数学归纳法的应用，但是从所证结构出发，只需令二X,则问题转化为：当x>0时，恒有In(x+1)>x-x成立，现构造函数h(x)=x-x+ln(x+1),求导即可证明.解后思：整体代换，再做差后构建新的函数h(x),这是解决比较不等式左右两边均含有未知数的一种常见方法.解答过程：

8、略.五、形如“f(X)0得x>3或x

9、别求最值.通过以上例题，我们可以体会到利用导数解决不等式问题，就是利用不等式与函数之间的联系，将不等式部分或者全部投射到函数上。直接或等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求岀函数的最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转化为比较函数值的大小，或者函数值在给定的区间上恒成立等。本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文