[精品]不等式问题中的导数处理策略例析1

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1、不等式问题中的导数处理策略例析四川省大竹中学孙建(邮编:635100)导数是高中数学选修知识中一个重要知识块，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求函数的单调性、极植、最值、和切线的方程等基本知识，但在高考中，为了体现以考查能力立意的命题思想，导数的相关综合题目通常都以其它数学分支如数列，不等式等为背景命制，以区分学生"转化与化归”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想的应用能力。本文探讨以导数为工具解决可借助函数处理的不等式的相关问题。题目中本来就出现的函数，绝对不能忽视。例1已知函数/(x)=ln(x+l)-x,求

2、证：当X〉-1时，恒有1-—

3、",若当时，/(x)<恒成立，求实数r的取值范围.解题分析：/(X)/6)时,y>mx-6^成立，求实数加的取值范围.解题分

4、析本题可转化为求/(x)=y-mx+16=x3-(3+in)x+16在区间(1»>/6)的最小值来做，但直接求其最小值则需分多种情况讨论，过程太复杂，若能注意到加的系数xe(l,V6),则可把参数加与变量兀分离，从而迅速求出其最值.角军：•・•a丄乙，a•乙=0,y=x3-3%,/.当1v兀v而时，x3->mx一16恒成立,即m+30,当兀—2

5、时,/(x)min—f(2)=12,/??+3<12,得m<9,・••加的取值范围为(yo,9]・解后思：点评最值法是解不等式恒成立问题的一种非常重要的方法，其解题原理是：f(x)>aJ

6、l.成立O/(x)min；/(X)

7、命题，很多学生习惯性思考数学归纳法的应用，但是从所证结构出发，只需令丄二兀，则问题转化为：当兀>0时，恒有nln(x+l)>x2-x3成立，现构造函数A(x)=x3-x24-ln(x+1),求导即可达到证明。解后思：整体代换，再做差后构建新的函数h(x),这是解决比较不等式左右两边均含有未知数的一种常见方法。解答过程：略四、形如“/3)

8、析：：•对任意x[yx2e[-2,2],都有/(%!)0得兀>3或x<-；fr(x)v0得—1v兀v3•.・./⑴在[-2,-1]为增函数，在[-1,2]为减函数.•••/(-I)=3,.*.[/(x)]max=33<,:.c<-24・解后思：此类问题屮不等式左右两边的变元变化并无关联，适合构建两个函数分别求最值。通过以上例题，我们可以体会到利用导数解决不等式问题，就是利用不等式与函数之间的联系，将不等式的部分或者全部

9、投射到函数上。直接或等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转化为比较函数值的大小，或者函数值在给定的区间上恒成立等