例析2013年高考试题中的导数问题

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1、例析2013年高考试题中的导数问题　　导数问题一直是高考的一个亮点，其分值一般都在十多分，主要从导数与函数，导数与不等式，导数与实际问题和与向量的结合等方面进行考察，下面我就以2013年的高考试题分类讨论如下：　　一、导数与函数方面的问题　　1.函数的单调性、极值和最值问题　　考点分析：使不等式成立的区间就是递增区间，使成立的区间就是递减区间。判断根的情况，由导函数的正负确定相应区间的单调性，从而取得最值。　　例1（2013广东文）设函数.　　（1）当时，求函数的单调区间；　　（2）当时，求函数在上的最小值和最大值.　　思路分析：　　（1）当时　　，在上单调递增.　　（2

2、）当时，，其开口向上，对称轴，且过　　（i）当，即时，，在上单调递增，　　从而当时，取得最小值，　　当时，取得最大值.　　（ii）当，即时，令4　　解得：，注意到，　　综上所述，当时，的最小值，最大值　　相关考题（2013广东理）（2013大纲版文）（2013福建）（2013重庆理）　　2.切线问题　　考点分析：求函数y=f（x）在某一点P（x，y）处的切线，即求出函数y=f（x）在P点的导数就是在该点的切线的斜率.　　例2（2013北京.理）设为曲线在点处的切线.　　（Ⅰ）求的方程；　　（Ⅱ）证明：除切点之外，曲线在直线的下方.　　思路分析：（I），所以的斜率　　所以的

3、方程为　　（II）证明：令　　则　　在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又　　时，，即　　时，，即　　即除切点（1，0）之外，曲线C在直线的下方。　　相关考题（2013福建）（2013浙江文）　　二、导数在实际中的应用　　考点分析：主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.4　　（2013年重庆文）（20）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为1

4、2000元（为圆周率）.　　（Ⅰ）将表示成的函数，并求该函数的定义域；　　（Ⅱ）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最。　　思路分析：（1）因为蓄水池侧面的总成本为100?2πrh=200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为（200πrh+160πr2）元.又据题意200πrh+160πr2=12000π，　　所以h=（300-4r2），从而V（r）=πr2h=（300r-4r3）.　　因r>0，又由h>0可得，故函数V（r）的定义域为（0，）.　　（2）因V（r）=（300r-4r3），故V′（r）=（300-12r2）.　　令V′（

5、r）=0，解得r1=5，r2=-5（因r2=-5不在定义域内，舍去）.　　当r∈（0，5）时，V′（r）>0，故V（r）在（0，5）上为增函数；　　当r∈（5，）时，V′（r）<0，故V（r）在（5，）上为减函数.　　由此可知，V（r）在r=5处取得最大值，此时h=8.　　即当r=5，h=8时，该蓄水池的体积最大.　　点评：此类考题主要考察学生将实际问题转化为数学问题的能力，在复习时，要加强学生这方面能力的培养，此类属于中档题，很容易得分。4　　综上可知，我们应做好学生导数与函数，不等式和实际问题的复习，掌握好当中的数形结合的思想，构造函数的方法。准确把握每年导数的命题方

6、向，通过典型的题型拓展学生的思维，争取在导数题型上有所突破，达到我们教学的目的。4