简析导数问题中构造辅助函数的常用方法

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1、简析导数问题中构造辅助函数的常用方法　　导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法.　　一、作差法（直接构造法）　　这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.　　例1.设x∈R，求证ex≥1+x　　构造函数f（x）=ex-1-x，对函数求导可得f′（x）≥ex-1，当x≥0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上

2、是增函数，f（x）≥f（0）=0，当xf（0）=0，因此，当x∈R，f（x）≥f（0）=0，即ex≥1+x　　例2.x>-1，求证1-■≤ln（x+1）≤x　　以证明右侧为例，设f（x）=x-ln（x+1），f′（x）=1-■（x>-1）　　令f′（x）=0，x=0，当x∈（-1，0）时，f′（x）0，函数递增，所以x=0时，函数取最小值f（0）=0，∴f（x）≥0.　　二、先去分母再作差　　有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差.　　例3.x>1，求证■<■4　　分析：设f（x）=■-lnx，f（

3、x）=■-■-lnx，f′（x）=■x-■+■x-■-■，f′（x）=■≥0，f（x）≥f（1），f（1）=0，∴f（x）>0　　三、先分离参数再构造　　例4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=　　-x2+ax-3　　（1）求f（x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；　　（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；　　（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.　　分析：（1）略（2）2xlnx≥-x2+ax-3恒成立，　　∵x>0，原不等式等价于a

4、≤2lnx+x+■.　　令g（x）=2lnx+x+■，则g′（x）=■，　　所以g（x）的最小值为g（1）=4，即a≤4　　（3）利用前面提到的第二种方法，先去分母再构造，目的就是使得构造的函数易于求导，易于分析.　　原不等式等价于xlnx>■-■，令F（x）=xlnx，G（x）=■-■　　则可求F（x）的最小值为F（■）=-■；G（x）的最大值为G（1）=-■，所以原不等式成立.　　四、从条件特征入手构造函数证明　　例5.若函数y=f（x）在R上可导且满足不等式xf′（x）>-f（x）恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：af（a）

5、>bf（b）4　　分析：由条件移项后xf′（x）+f（x），可以构造函数F（x）=xf（x），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf′（x）>f（x），则移项后xf′（x）-f（x），要想到是一个商的导数的分子，构造函数F（x）=■，求导去完成证明.　　五、由高等数学中的结论构造　　利用泰勒公式，可以把任意一个函数用幂函数近似表示.　　f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+…　　当f（x）=lnx，取x=1，则lnx=x-1-■+…lnx≈x-1　　例6.数列{an}，a1=1，an

6、+1=lnan+an+2，求证an≤2n-1　　分析：设f（x）=lnx-（x-1），f′（x）=■-1=■，当x∈（0，1），　　f′（x）>0　　当x∈（1，+∞），f′（x）<0，f（x）≤f（1）=0∴lnx≤x-1　　lnan≤an-1，an+1=lnan+an+2≤2an+1，∴an+1+1≤2（an+1）　　迭代，1+an≤2（1+an-1）≤…≤2n-1（1+a1）=2n　　∴an≤2n-1　　例7.（2008年山东理21）已知函数f（x）=■+aln（x-1）其中n∈N*，a为常数.　　（1）当n=2时，求函数f（x

7、）的极值；　　（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f（x）≤x-14　　分析（2）：当a=1时，f（x）=■+ln（x-1）.　　当x≥2时，对任意的正整数n，恒有■≤1，　　故只需证明1+ln（x-1）≤x-1.　　令h（x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），　　则h′（x）=1-■=■，　　当x≥2时，h′（x）≥0，故，h（x）在[2，+∞）上单调递增，　　因此x≥2时，当h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立.　　故当x≥2时，有■+ln（x-1）

8、≤x-1.即f（x）≤x-1.　　另外，高等数学中有一个极限结论：■■=1　　由以上极限不难得出，当x>0时，　　sinx