有关中值命题中辅助函数构造的一般方法研究　　文献综述

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1、文献综述有关中值命题中辅助函数构造的一般方法研究　　一、前言部分微积分学是数学分析中的核心内容，其命题十分的抽象复杂。因此，在微积分中常见命题的解决时，通常会遇到这样的问题：对于与命题相关的定理与知识所熟悉，但不知如何通过题设，运用定理来解题。这时，单凭对定理的一般运用是无法解决问题的，而是需要构造出一个既能运用题设条件又能应用相关定理得辅助函数，将抽象的关系通过具体的函数表达出来，转化为比较直观的，易于解决的问题。辅助函数构造法在数学领域中广泛地被采用着，它们所起的作用是桥梁式的作用，甚至有些是

2、起着无法替代的作用。通过查阅现有的大量资料发现，现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多，其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路，但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用。在本文，将在微分中值命题的证明这个领域中分别讨论构造函数法的运用，将会解决构造函数法在这个领域中运用的一些思路和如何构造辅助函数的方法。通过构造辅助函数，可以解决数学分析中众多难题，尤其是在微积分学证明题中应用颇广，且可达到事半功倍的效果。二、主题部分一、构造函数法在微积分中值定理证明中的应用分析微分中值的

3、定理证明代表着构造函数法的一个重要的思路，这个思路是当构造一个辅助函数时，其辅助函数的构造的条件必须满足现有某个已证定理的条件，进而解决问题。具体的来说罗尔定理证明中是构造出了满足Fermat引理的函数，进而推导出了结果；而Lagrange中值定理和Cauchy定理则都是构造出了满足罗尔定理条件的辅助函数，来推导出了最终的结果。构造函数法的思想是十分发散的，所以其在微分中值定理的证明中的辅助函数的构造也是多种多样的，这种多态化的思想启发出，在使用构造函数法时，我们可以使用各种所学知识，根据命题条件

4、，构造出满足题意的辅助函数来。微分中值定理的证明实现了函数与导数之前的沟通，是利用导数的局部性质研究函数整体性质的重要工具。以微分中值定理为基础的各种中值问题，成为数学分析中的重要内容。这类问题的常见形式是：设函数在上连续，在上可导，且满足某些附加条件，求证存在一点使得某个含有的等式成立。处理这类问题，关键在于如何构造出能够满足罗尔，Lagrange定理和Cauchy定理条件的辅助函数。通常采用的构造函数方法大多限于几个初等的试探方法，比如，利用函数的几何图像，借助于行列式等。用这些方法构造函数往

5、往需要很高的技巧，实际处理具体问题不好运用和掌握。如果考虑到Lagrange中值定理和Cauchy中值定理是罗尔中值定理的推广形式，罗尔中值定理的结论为一个导数形式，那么构造辅助函数其实就是要寻找一个能够满足罗尔中值定理条件的原函数，这样，我们可以利用微分运算的逆过程——积分运算，来构造辅助函数，以解决有关微分中值的问题。1.1辅助函数在罗尔(Rolle)定理证明中的应用微分中值定理中的罗尔定理是高等数学中的一个重要内容，因为它的应用非常广泛，而构造辅助函数是解决罗尔定理问题的最主要的方法。若辅助

6、函数构造的合理巧妙，满足定理的三个条件，则问题很快就能迎刃而解。1.1.1罗尔(Rolle)定理若函数满足如下条件：(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；(3)，则在内至少存在一点，使得.1.1.2推广的罗尔(Rolle)定理设函数满足条件：(1)函数在开区间内可微；(2)；则在内至少存在一点，使．证明：不妨设，作辅助函数，，所以由的构造可知，在上连续，从而满足罗尔定理的条件：(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；(3)；则在内至少存在一点，使得．1.2辅助函数在拉格朗日中值定理证明中

7、的应用1.2.1拉格朗日中值定理若函数满足如下条件：(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得．证明：令，则作辅助函数，则显然有．又因为在闭区间上连续，在开区间内可导，所以显然有满足罗尔定理的条件：(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；(3)；所以在内至少存在一点，使得，即．从而．1.3辅助函数在柯西中值定理证明中的应用1.3.1柯西中值定理设函数和满足：(1)在上都连续；(2)在上都可导；(3)和不同时为零；(4)；则存在，使得．证明：作辅助函数易见在上满足罗尔定

8、理的条件，故存在，使得因为，所以有．二、构造辅助函数法结合微分中值命题证明分析在众多等式命题的证明中，结合微分中值定理的命题证明占据着一个非常重要的地位，其证明的方法也是多种多样的，我们通过辅助函数构造法在一些经典例题的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路。2.1原函数法其实是一种逆向思维的方法，在结合微分中值定理求解介值定理（或者零点）问题时，要证明的结论往往是一个函数的导函数的零点，这时可通过不定积分反求出原函