【数学与应用数学专业】【毕业论文】有关中值命题中辅助函数构造的一般方法研究

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1、（20__届）本科毕业论文有关中值命题中辅助函数构造的一般方法研究III摘要：《数学分析》的微积分证明中，证明某个问题的结论时，经常会遇到通过已有的条件无法直接推导证明出结论，而这时可以尝试运用辅助函数构造法，根据命题中的条件，将结论变换，从而构造出一个辅助函数，再运用有关的定理结论推导出命题的结论，这往往对命题的证明能起到事半功倍的结果。辅助函数构造法是一种重要的数学方法，其构造方法思路也是多种多样的，本文通过辅助函数构造法在一些经典例题的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出针对有关中值定理中辅助函数构造

2、的一些思路。关键词：中值定理；辅助函数IIIFortheAuxiliaryFunctionsMeanValueTheoremoftheGeneralMethodAbstract:Intheprocessofprovingsomeconclusionsaboutcalculusin"MathematicalAnalysis",weusuallyencounteredtheproblemsthattheconclusionswewanttoprovecannotgetfromtheexistingconditionsdirectly.Atthistime,w

3、ecantrytoconverttheconclusionsaccordingtotheconditionsintheproposition,andthenconstructanauxiliaryfunctiontogetherwithsomerelatedtheoremstoderiveit.Thisisusuallyhelpfultoproveaproposition.ThemethodofauxiliaryfunctionconstructionisanimportantoneinMath,andthereisawidevarietyofwaysa

4、ndideastoconstructit.Inthispaper,wewilltrytofindseveralwaystoconstructauxiliaryfunctionbyanalyzingtheapplicationofthemethodtoconstructauxiliaryfunctioninsomeclassicalexamples,andthenapplythewayswefindtosomespecificproblemsinordertoconcludesomegeneralideasofauxiliaryfunctionconstr

5、uctioninpropositionaboutmeanvaluetheorem.Keywords:meanvaluetheoremtheauxiliaryfunctionIII目录1引言11.1预备知识21.2辅助函数—桥梁21.3构造辅助函数的思维过程22辅助函数在微积分学中的应用分析32.1辅助函数在罗尔(Rolle)定理中的应用32.2辅助函数在拉格朗日(Lagrange)中值定理中的应用32.3辅助函数在柯西(Cauchy)中值定理中的应用43构造辅助函数法结合微分中值命题证明分析53.1原函数法53.2常数值法63.3积分构造法73.4待定系

6、数法93.5观察联想法103.6几何直观法123.7行列式法143.8一般构造法154辅助函数在微积分学里的应用举例165结语20致谢21参考文献22III1引言微积分学是数学分析中的核心内容，其命题十分的抽象复杂。因此，在微积分中常见命题的解决时，通常会遇到这样的问题：对于与命题相关的定理与知识所熟悉，但不知如何通过题设，运用定理来解题。这时，单凭对定理的一般运用是无法解决问题的，而是需要构造出一个既能运用题设条件又能应用相关定理得辅助函数，将抽象的关系通过具体的函数表达出来，转化为比较直观的，易于解决的问题。辅助函数构造法在数学领域中广泛地被采用着，

7、它们所起的作用是桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用。通过查阅现有的大量资料发现，现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多，其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路，但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用。在本文，将在微分中值命题的证明这个领域中分别讨论构造函数法的运用，将会解决构造函数法在这个领域中运用的一些思路和如何构造辅助函数的方法。通过构造辅助函数，可以解决数学分析中众多难题，尤其是在微积分学证明题中应用颇广，且可达到事半功倍的效果。1.1预备知识定理1（罗尔定理）若函数满足如下条件：(1)在闭区间上连续；(2)在开区

8、间内可导；(3)，则在内至少存在一点，使得。定理2（拉格朗日中值定理）若函数满足