例析数学解题中的转化策略-论文.pdf

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1、《数学之友》2015年第4期例析数学解题中的转化策略解题探索储斌(南京市秦淮中学，210000)数学解题即意味着“转化”．“转化”是人类解决合的非空子集，把集合A中的各元素之和记作为问题经常采用的一种方法，即在解决问题的过程中，S(A)，则S(A)的所有不同取值的个数为．多次将问题进行“变形”，使原来比较难解决的问分析：因为S(A)是集合A中各元素之和，且A题，转化为熟知的或已经能够解决的问题，从而使问是集合的非空子集，所以当A={1}时，S(A)取得题得到解决．在数学上，也通常把这种方法或思维方最小值，当A=M时，Js(A)=1+2+3+⋯+10

2、0=式称之为“化归”．数学教育家波利亚在其著作《怎5050为最大值，这样一来，原命题转化为从1到样解题》中给出了“怎样解题表”，在解题“拟定计5050之间有多少个正整数，答案5050就显而易划”中指出，“如果你不能解决所提出的问题，可先见了．解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?能否解决这个问题的一部分?3过程求解中的转化仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分．这样对于在解决有些数学问题的过程中，需要把得到的未知数能确定到什么程度?你能不能从已知数据导阶段性的运算结果转化为熟悉的模型上来处理．这出某些有用的东西?你能不能想出适合

3、于确定未知样，一个较难问题的解决，可以将其化归到我们熟悉数的其他数据?”这段话揭示的转化思想是数学解的领域，利用我们所擅长的知识去解决．题的基本策略之一．例3已知函数)=+(1—2a)x—lnx(口常见的应用于数学解题中的转化策略有如下ER)．记函数Y=厂()的图象为曲线c，设点A(，，几种：Y)，B(x，Y2)是曲线C上不同的两点，点为线段1问题情境的转化AB的中点，过点作轴的垂线交曲线c于点Ⅳ，试问：曲线C在点J7、r处的切线是否平行于直线AB?解题时，适当地转化问题的情境，给学生提供熟并说明理由．悉、易懂的知识背景，可使问题的变量或数量关系更

4、分析：本题的解题指导思想是利用两直线的斜加明显，分析思路更加清晰．率相等建立等式，通过不同结构相等转化为方程根例1在平面直角坐标系中，若符合点A(1，的思想，再从函数单调性的角度进行判断．2)，(m，1)到直线Z的距离分别为l，2的直线有且解：设(Xo,Yo)，则点M的横坐标为。：，仅有2条，则实数m的取值范围是．分析：以A为圆心，半径为l作圆，再以为圆直线AB的斜率心，半径为2作圆．两圆同时与直线Z相切，则此时一，y2=一，‘两圆的位置关系应该为相交，问题转化为圆心距AB-X2大于两圆半径之差的绝对值同时小于两圆半径之和1_E口(一)+(1一)t

5、一)+l一]=筋的计算，这样就不难得出m的取值范围是(1—2，=口(。+)+(1—2a)+—lnx_2_=-ln~11)u(1，l+2)．．2问题形式的转化由题意，知点N的横坐标：苎L，曲线C在在解题过程中，需要通过由未知到已知、由难到点Ⅳ的切线斜率易、由简到繁的转化来达到解决问题的目的．k2：厂(o)=2ax0+(1-2a)一一例2已知集合M={1，2，3，⋯，100}，A是集·7O·《数学之友》2015年第4期=口(+：)+(一2口)一，，_．分析：注意到题中的AABC形状不确定，因此可取特殊情形CAB=90。，此时AABC的垂心H与假设曲线C

6、在点Ⅳ处的切线平行于直线AB，点A重合，通过建立直角坐标系，使得A(0，0)，=一．B(6，0)，c(o，4)，则可得G(2，÷)，所以·赢=2O一_．所以：：．。1．Lx__L2Xl5特殊向一般的转化不妨设。<：，=>·，则ln=与上述解题思路相反，当对一般事物较为熟悉，而对特殊事物不熟悉时，先对问题作一般化的研讨，令)=()，以达到解决特殊问题的目的．例5在四面体A—BCD中，若AB上平面g=÷一南=BCD，CD上平面ABC，如图1，已知AB=a，BC=b，所以g(t)在(1，+∞)上是增函数．CD=C，则该四面体外接球的表面积为．又g(1)=

7、O，所以g(t)>0．即lnt=不成立．所以曲线C在点N处的切线不平行于直D线AB．CCD4一般向特殊的转化图1图2解析：在立体几何的习题中，经常涉及三棱锥外辨证唯物主义认为，矛盾既有普遍性又有特殊接球的相关问题，主要的策略之一就是利用转化的性．由于矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中，利用思想，根据条件把三棱锥补成简单的几何体，正方体矛盾的特殊性可以寻求巧算途径．所以在解题时，经或长方体，如图2所示，这样就不难得出外接球的表常考虑能否把待解的问题转化为某种特殊的问题，面积为(口+b+c)所谓“窥一斑而见全貌”，从而去寻求解决一般问题的策略．6具体向抽

8、象的转化一般来说，特殊问题往往更简单直观容易解决，并且解决的过程中蕴含着一般问题的解决．波利亚对于具体事物之间的关系或者运