数学问题中的转化策略

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1、教育教学研究论从数学问题中的转化策略浙江温岭陈伟光解答数学问题，作为创造性的思维活动过程，其重要的特点是思维的变通性和流畅性，当主体接触的问题难以入手，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化成为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。前苏联数学家雅诺夫斯卡娅，在回答“解题意味着什么”时说：“解题——就是意味着把所要解的问题转化到已经解过的问题”？这个回答应该说十分简练和正确的。问题的转化是数学解题的重要思想方法，因此在数学教学中，问题转化策略是提高学生学习质量的关键之一。用问题转化策略解数学习题的

2、过程是怎样的呢？一般过程如下图所示：　　　解答新问题转化问题解新问题还原那么，在解题过程中又怎样寻找和利用那些已经解决的或是较为简单和容易的问题呢？下面通过例子说明在不同的解题情境中，问题转化策略的运用。一、问题中表述的转化策略有些数学问题中的表述曲折难懂，我们可以采取转化问题表述的策略，将问题作等价形式的叙述从而使解题思路明朗化。如证明“正的真分数的分子，分母分别加上同一个正数就增大”的关键是正确地将命题的表述转化为等价的“形式化符号语言”。已知又如，求证关于的方程：（其中，）的两根一个大于，另一个根小于。问题的关键可以转化为等价的命题，

3、即证（设为方程的两个根）。例1：当为何值时，由不等式可以得到：在区间（1，2］上是负的，而这又等价于区间（1，2］位于二次三项式的两根之间（二次项系数为正），这个条件又等价于区间的两个端点位于二次三项式两根之间。最后这个条件又等价于当时≤0且当时即二、问题中，变量代换的转化策略一些比较复杂的数学问题，通过变量的替换使问题转化，产生化繁为简，转暗为明的效果。例2：设。分析：因为且注意到要证不等式左边的形式，故可作变量代换。设：-4-教育教学研究论从。这样原问题就转化等价命题：设很显然这是个容易解决的问题，因为对所有的t都成立，即，由，即。三、

4、问题中的主参数转化策略主参数与辅参数是人为的，当确定某一参数为主参数时，则其他就是辅参数，有些问题的处理不妨视主为辅以达到求解的目的。例3：关于方程有且只有一个实数根。求实数范围。让学生思考寻求解决的途径，大部分学生从的方程有且只有一个解的方向进行思考，但发现行不通，因为关于的三次方程属于超范围，一般用换元或分解因式来达到降次的目的，当考察下很难发现正确途径时，教师可适时点拨：“既然从入手困难，为什么不反客为主，以字母为主元试试看呢？”学生发现，原方程可整理成即注意到关于的方程只有一个实根，因此必无解，即△=1-4(1-)<0，得<为所求。

5、四、一般与特殊的转化策略德国数学家希尔伯特说过，在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未能成功的原因就是在这样的事实，即有一些比手头问题更简单，更容易的总是没有解决，或着没有完全解决，这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的要领来解决它们，这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一。我为数学家华罗庚也强调：解题时，先足够地退，退到我们最易清楚问题的地方，认透了钻深了，然后再上去，就是说遇到一个较难的问题，有人往往感到没法下手，怎么办，一个好注意是“退”

6、，即从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从整体退到部分，退到最原始，而又不失去重要性的地方，退到你会做，能下手的问题上。EDFABCBFHAＣＤ例4：如图：E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上滑动，保持∠EAF=45°，证明△AEF的高AH为定值。分析：定值是什么，证明没有方向，下手有困难，但是，在特殊情况下，我们很容易求出AH的值，当E滑动到C时，F滑动到D，则高AH与AD重合，由于AH-4-教育教学研究论从为定值所以这个定值必为正方形的边长，即证明AH=AD，目标明确，将Rt△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得△AD

7、C，因为AE=AC，AF=AF，∠EAF=∠CAF=45°故有△AEF≌△CAF，所以AH=AD。由于特殊值、特殊点、特殊位置、特殊关系，既隐含有一般情况的特征，又常常独具一些良好的性质，从这些良好性质入手，就打开了解题的突破口，成为向纵深挺进的起点。五、问题中的数形相互转化策略华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形是客观事物不可分离的两个数学表象，它们各自有自己特定的含义，但大存在密切的关系，基于此有些代数问题可以转化为几何来解，几何问题转化为代数来解，不仅直观形象而且求解异常明快。例5：已知,为正数，求的最小值。分析

8、：如果做数形转化，通过几何图形来表示原题中的数量关系，使代数问题转化为几何问题。如图，为线段上的一动点，，，显然见其最小值为，应当认识到，代数表达及其运算，比起几何图形及其形象有