数学问题中的转化策略【资料】.docx

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1、数学问题中的转化策略浙江温岭陈伟光解答数学问题，作为创造性的思维活动过程，其重要的特点是思维的变通性和流畅性，当主体接触的问题难以入手，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化成为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的冃的。前苏联数学家雅诺夫斯卡娅，在回答“解题意味着什么”时说：“解题——就是意味着把所要解的问题转化到已经解过的问题”？这个冋答应该说十分简练和正确的。问题的转化是数学解题的重要思想方法，因此在数学教学中，问题转化策略是提高学生学习质量的关键之一。用问题转化策略解数学习题的过程是怎样的呢？一般过程如下图所示：那么，在解题过程中

2、乂怎样寻找和利用那些已经解决的或是较为简单和容易的问题呢？下面通过例子说明在不同的解题情境中，问题转化策略的运用。一、问题中表述的转化策略有些数学问题中的表述曲折难懂，我们可以采取转化问题表述的策略，将问题作等价形式的叙述从而使解题思路明朗化。如证明“正的真分数的分子，分母分别加上同一个正数就增人”的关键是正确地将命题的表述转化为等价的“形式化符号语言”。已知a,b>0,加>0,求证:也>工又如，求证关a+ma于尤的方程：2x2-（3/w4-+mn=0（英中，〃?,/?为实数，且加>川>0）的两根一个大于n,另一个根小于心问题的关键可以转化为等价的命题，即证（“-必七7）<（）

3、（设兀"2为方程的两个根）。例当。为何值时，由不等式ly>0,求证-一」一>2VI。兀一）’分析：因为x>y>0^X-y>0H.注意到要证不

4、等式左边的形式，故可作变量代换。设t=x-y>0于是由F+y2=（x-y）2+2xy及已知条件D=1可得:x2+y2=t2+2o这样原问题就转化等价命题：.29设/>0,求证—^>2a/2t很显然这是个容易解决的问题，因为(r-V22)>0对所冇的f都成立，即"_2血+2»0,由(〉0可矢H广_2血十2二0,即£1±2>272ott三、问题中的主参数转化策略主参数与辅参数是人为的，当确定某一参数为主参数时，则其他就是辅参数，有些问题的处理不妨视主为辅以达到求解的目的。例3：关于兀方程x3-ax2-2ax+a2-l=0有且只有一个实数根。求实数"范围。让学生思考寻求解决的途径，人

5、部分学生从兀的方程有且只有一个解的方向进行思考，但发现行不通，因为关于；v的三次方程属于超范围，一般用换元或分解因式来达到降次的H的，当考察卜•很难发现正确途径时，教师可适时点拨：“既然从兀入手因难，为什么不反客为主，以字母“为主元试试看呢？”学生发现，原方程可整理成°2_(”+2少+(”_])=0,即(a_x+j)(a_x2_x_l)=0注意到关于兀的方程只有一个实根，因此a-x2-x-1=0必无解，即z4=1-4(1-«)<0»得av扌为所求。四、一般与特殊的转化策略徳国数学家希尔伯特说过，在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，可能在大多数场合，我们寻找

6、一个问题的答案而未能成功的原因就是在这样的事实，即有一些比手头问题更简单，更容易的总是没有解决，或着没有完全解决，这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并川尽町能完善的方法和能够推广的要领來解决它们，这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一。我为数学家华罗庚也强调：解题时，先足够地退，退到我们最易清处问题的地方，认透了钻深了,然后再上去，就是说遇到一个较难的问题，有人往往感到没法下手，怎么办，一个好注意是“退”，即从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从整体退到部分，退到最原始，而乂不失去重要性的地方，退到你会做，能下手的问题上。例4：如图：E、F分别在正方形佃〃的边

7、〃GG?上滑动，保持ZEAF=45°,证明△/莎的高個为定值。分析：定值是什么，证明没有方向，下手有困难，但是，在特殊情况下，我们很容易求出力〃的值，当尸滑动到力时，尸滑动到〃，则高血/与力〃重合，由于血/为定值所以这个定值必为正方形的边氏，即证明力洋初，目标明确，将RtfABE绕点〃按逆时针方向旋转90°得ADC,因为AE=AGAF二AF,ZEAF二乙CAF=45°故有△/IbF$/CAF,所以力〃二AD.由于特殊值、特殊点、特殊位置、特殊关系，既隐含冇一般情况的特征,又常常独具一些