数学解题中转化思维的六种策略

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1、数学解题中转化思维的六种策略值得拥有的资料是来自平时学习积累总结的有问题的地方肯定有的还请大家批评指正！浅谈数学解题中的转化思维（西安交通大学苏州附属中学沈亮215021）摘要：数学屮的解题是我们所学知识的综合应用解题过程其实也就是思维转化的过程•解题策略是解题思想转化为解题步骤的中介本文主要介绍思维转化的策略及其特征重点讨论了正向向逆向转化未知向已知转化数向形转化主元向辅元转化定量向变量转化等策略及其应用关键词：数学解题；思维转化策略；思维的转化是数学解题中普遍采用的一种思想是数学知识的精髓同

2、时也是处理数学问题的基本方法转化思维能有效地帮助我们理解数学知识培养思维能力•思维的转化在数学解题中处处可见根据具体问题选择不同的策略这样就能更快捷的找到解题方法并使解法简便.策略一、正向向逆向转化任何事物都有其正反两个方面解数学题也是如此•许多问题从正面进行推导或计算时不容易进行求解.如果我们能及时调整思维方向比如从问题的和反角度去考虑也就是应用逆向思维的方式去思考有时会使问题简单化容易化从而就能找到解题的快捷方法.例1・若方程至多有一个负根,试求的范围.分析二次方程的两个根至多有一个负根那么

3、它的反面就是两个根均为负根从这个角度入手，这个题就可以很快求出结果.解若方程有两个负根则必须满足以下不等式组即解这个不等式组得因此若要方程至多有一个负根时k的取值范围或.评注从以上例题可以看出，应用逆向思维巧解数学题方法独特构思新颖,有的问题表面上看上去很难一旦运用逆向思维就常会使问题简单明了.因此在数学学习中我们应加强逆向思维的训练逐步从正向思维过渡到正逆双向思维这有助于培养和提高我们的数学思维能力激发学习的兴趣.策略二、未知向已知转化在解题吋我们有时因为一些条件的限制和思维定势的影响而陷入困

4、境.这时如果我们能开拓思维从多角度多方面思考与分析问题抓住题目的特征探求新的问题与已掌握知识间的相关性恰当的转换思维方法许多难题就变得很容易.未知向已知的转化又称类比转化它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法.例2.已知是实数且求证：■分析本题要证明的不等式中含有三个未知数仅仅知道一个关于这三个参数的一次等式想求解出显然是不可能的所以我们只能充分利用不等式左端的代数结构来进行分析.如果我们把不等式左端改写为则此式和以前学过的柯西不等式的左端结构相似且经过转化后不等式中还会出现这样题目就可以得到解

5、决.证明因为是实数且.令所以而因为所以即评注由于相似的因素、相似的条件能够产生相似的关系或相似的结果.因此当两个问题外形相似吋我们可以通过大胆联想巧妙转换把它们划为同一类问题,用类似的方法解答.策略三、数向形的转化数与形是数学研究的两类基木对象.数量关系如果能借助图像的性质可以使许多抽象的概念和关系变得直观化形象化我们通常称这种方法为〃以形助数〃；而有些设计图形的问题如果能转化为数量关系的问题就可以获得严谨的解法也就是所谓的〃以数辅形〃.数形结合包括两个方面：一是借助形的直观性來阐明数与形的某种

6、关系；二是借助数的精确性來阐明性的某些属性.在解题时如能经常考虑数形结合往往能解决问题.利用数形结合是数学解题中的常用思想和方法.例3.已知求证.分析这个不等式可以用解含有绝对值的不等式的解决方法來解但是如果我们观察这个不等式的左边发现表示数轴上点x到点-1的距离表示数轴上点x到点2的距离要证明的不等式左端表示数轴上任意一点到点-1和点2的距离之和只要找出最小距离也就证明了此不等式所以这个题目用它的儿何意义来解更快捷.证明设数轴上的三点分别为A,B,C坐标分别为-12x如下图当时当时,当时综上所

7、述.评注形数结合是数学的重要表现形式通过对已知不等式函数等变形代换处理后找出它的儿何意义以形定数可以避繁就简.数学数形结合既是一种思想又是一种方法.要善于〃形〃屮寻找到〃数〃的信息〃数〃中寻找到〃形〃的信息，通过〃以数解形〃或〃以形助数〃从而发挥数的严谨与形的直观两方面的长处.策略四、主元向辅元的转化在涉及了多个字母的数学题中当我们把某一字母确定为主元时和应的其他字母就是辅元.主元与辅元是人为的和对的所以有时根据解题的需要将〃主源〃和〃辅元〃互换地位.例4.已知关于的方程：有且仅有一个实根求实数

8、的取值范围.分析显然，本题中的是主元为辅元但方程中的最高次数为3按止常思路应当把x看成主元先求出x再对a进行讨论但是由于求根比较困难这样做的话解题相当复杂.注意到的最高次数为2如果反客为主把a看成主元原方程转化为关于的二次方程，这样使问题变得简单.解原方程可代为即,因为原方程有唯一实根,所以无实根，所以.评注上述例题从表面上看需要先求出x然后才能对a进行讨论但实质上如果从整体上去把握，处理两个量Z间的关系会使题目简单易解.解题策略的选择是一种有冃的的思维活动，然而并不遵循严格的逻辑原则往往中间有