数学解题的思维策略

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1、数学解题的思维策略•数学思维的变通性教学目标：培养学生发散思维的能力教学重点：培养学生发散思维的能力，练习数形结合转化思想在解题中的应用数学教学的1=1的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质。数学思维的变通性的训练是其中非常重要的一个环节。数学问题千变万化，要想既快乂准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下儿个方而的训练：⑴善于观察；任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。

2、要想解决它，就必须依据题1=1的具体特征，对题1=1进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。⑵善于联想；联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否山观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入例如，函数式)，=丄0?可-2以有以下几种解释：①可以看成口由落休公式s=-gt2.2②可以看成动能公式E=丄mv2.2③可以看成热量公式

3、Q=-RI乂如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变换为:logfla,—,sin2x+cos2x,(log“b)・(log‘)，sec2x-tg2x，等等。。⑶善于将问x题进行转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽彖问题转化成具体数学解题是命题的连续变换。nJ见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化问题，把未知问题转化成己知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。一.热

4、身练习(1)求和—+…+——!——.1-22-33-4n(n+1)[x+y=2(2)解方程纽彳・W=-3(3)己知—I1—=,(abchO,a+b+cHO),abcd+b+c求证：a、b、c三数中必冇两个互为和反数。一.典例师生共研讨因此，yla2+Z?2+a/c2+d2>J(d_c)2+(方一d)l［知识提升h(1)从题Id的外表形式观察到，要证的结论的右端与平而上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式，(2)三角形三边关系在不等式证明中的应用，(3)数形结合思想的应用。例2.已知

5、a、b、c均为正实数，满足关系式a2+b2=c又〃为不小于3的自然数，求证:a”+b”vc”・［引导分析h(1)已知a、b、c•均为正实数有何用途？(2)由条件a2+b2=c2联想到什么?［学生讨论h［证明］:设b、c•所对的角分别为A、B、C.则C是直角，A为锐角，于是sinA=—,cosA=—,fl.O3时，WsinnA

6、n

7、/(1)

8、、⑵

9、、

10、/(3)

11、中至少有一个不小于1.

12、［学生练习］:(反证法)假设原命题不成立，即

13、/(1)

14、.

15、/(2)

16、.

17、/(3)

18、都小于1。1/(1)

19、<1MJ

20、/(2)

21、<1=>/(3)<11<2+/7?+H<11<8+2m+/?<1n1<18+3m+n<1-3

22、/(1)

23、.

24、/(2)

25、.

26、/(3)

27、中至少冇一个不小于1。［知识提升h(1)反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有

28、“至少”“至少”“唯一”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。(2)体现了数学解题中的转化思想。例4.己知x+y=l,求/+)/的最小值。［引导分析］:(1)所求函数的结构式具有两个字母兀、y,是否可以转换为普通的函数求最值问题。(2)已知的一次式x+y=1两边平方后与所求的二次式x2+y2有密切关联，是否可以借助这种关系实现问题的转化。(3)己知条件和所求函数式都具有解析儿何常见方程的特点，是否可得到用解析法求解的启发。［学生讨论］:［解法