利用导数处理和不等式有关问题

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1、利用导数处理和不等式有关问题【摘要】导数是研究函数性质的重要工具。利用导数可求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质；因此，很多都利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。【关键词】导数高中体育探索【中图分类号】G633.96【文献标识码】A【文章编号】1674-4772（2014）04-004-02一、用导数证明不等式（一）利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根

2、据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式：1.直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。例1:x>0时，求证；x~B-In(1+x)0),则f，(x)Vx>0,/.f'(x)0时，f(x)a>e,求证：ab>ba,(e为自然对数的底)证：要证ab>ba只需证lnab>lnba艮卩证：blna~alnb>0设f(x)=xlna-alnx(x>a>e)；则f"(x)=lna-H,*a>e,x>

3、a/.lna>l,■()，因而f(x)在(e,+°°)上递增Vb>a,/.f(b)>f(a)；故b1na~a1nb>a1na~a1na=0；即blna>alnb,所以ab>ba成立。(二)利用导数求函数的最值(或值域)后，再证明不等式导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。例3.求证：n^N*,n23时，2n>2n+l证明：要证原式，即需证：2n-2n-l>0,n23时成立，设f(x)二2x-2xT(x23),则f'(

4、x)=2xln2~2(x23),•・・x23,••f(x)^231n3-2>0,:.f(x)在［3,上是增函数，...f(x)的最小值为f(3)=23-2X3-l=l>0所以，nWN*,n23时，f(n)2f(3)>0,即n$3时，2n-2nT>0成立。3.利用导数求出函数的值域，再证明不等式。例5.f(x)=Bx3~x,xl,x2w［T,1］时,求证：

5、f(xl)-f(x2)

6、W■证明：Tf'(x)=x2~l,［-1,1］时，f'(x)WO,...f(x)在［T,1］上递减.故f(x)在［T,1］上的最大值为f(-1)=«，最小值为f(1)二-■，即f(x)在［-1,1］上的值域为［_■,■

7、］；所以xl,x2e［-1,1］时，

8、f(xl)!<■,

9、f(x2)

10、即有

11、f(xl)-f(x2)

12、<

13、f(xl)

14、+

15、f(x2)二、利用导数解决不等式恒成立问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f(x)(或mO时，解得00时x>・所以h(x)在(0,■)上递增，在(■,+8)上递减，故h(x)的最大值为h(■)二■，所以，三、利用导数解不等式例8.函数f(x)=■-ax(a>0),解不等式f(x)解:由题知f，(x)二■■-a二■-a①・角三1,f'(x)

16、,即a^l时f(x)W1的解为｛x

17、x20｝②00时解得xW(-°°,-■)U(■，+8),f‘(x)f‘(x)〈0时解得xW(-■,■）故f（X）在（-■,■）上单调递减，f（x）在（-8,-■）或（■,+8）上单调递增，又f（x）=1时解得x=0或x=■,且0总之，不论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。