构造函数处理与导数有关的不等式问题教案

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1、构造函数处理与导数有关的不等式问题1.设函数Ax)=axn+1+bxn+c(x>0),其中a+b=O,n为正整数，a，b,c均为常数，曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y-l=O.(1)求a,b,(:的值.⑵求函数f(x)的最人值.(3)证明:对任意的xe(O,+~)都有nf(x)〈i.(e为自然对数的底数)e3.设函数,(x)=lnx-x2+ax(aGR).(I)求函数/(x)的单调区间；(II)□知AhpyJ，B(x2,y2)(xxx2)是函数/(x)在xe[1，+oo)的阁象上的任意两点，且满尼Xi^<2,求a的最大值；Xl-X22n+l(III)设

2、g(x)=xe1_x,若对于任意给定的xQe(0,e],方和:/(x)+1=g(xQ)在(0,e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围。(其中e是自然对数的底数).己知函数/(x)=x-i-alnx.(I)若函数/⑻无极值点，求a的取值范围;(II)^g(x)=x+--(alnx)a,当a取(I)中的最大值时，求g(x)的最小值;(III)证明不等式：EP=i,1>(neN*)构造函数常用的两个重要结论：当x〉0时1.sinx

3、sinx，Mfx)=1-cosx>0,所以函数/O)在(0,+oo)上单调递增，/(%)〉/(0)=0.所以％—sinx〉0,即sinxcx.1Y(2)构造函数/(x)二x-ln(l+x)，则/(x)=l=——>0.所以函数/(x)在(0，+oo)上1+X1+X单调递增，/(x)>/(0)=0,所以x〉ln(l+«r),即ln(l+x)<*.n+要证〉e，两边取对数，即证In1+Z7+1事实上:设1+丄=，，则n=丄(，〉1)，因此得不等式lnt>l--(t>l)nt-lt构造函数g(z)=lnz+--l(z>l),F面证明g⑴在(1，+oo)上恒大于0.t...g'(

4、t)=丄一4〉0,•••g⑴在(1，+OO)上单调递增，尺⑴〉t?(1)=0,即liu〉1一丄，ttt以上两个重要结论在髙考屮解答与导数有关的命题侖着广泛的应川.策略一一元不等式，直接移项作差，构造函数例1已知定义在.iH实数集上的函数/(x)=

5、x2+2ax，g⑻=3a2lnx+b，K•中a〉0.设两曲线y=/(x),y=g(x)有公共点，且在该点处的切线ffl同。(1)川a表示b，并求b的最人值；(2)求证:/(x)>g(x)(x〉0)(练习)试证明：当x〉一1时，

6、7?^?+in(x-i)，证明：对任意的正整数n,当x22时，m(x)

7、<^77+^77策略四二元不等式，抓住结构特征，合理变形，再构造函数例4已知m,nGN*，且1ba策略五二元不等式，定主元略从元，以主元为变量，从元为常量，构造函数例5己知函数g(x)=xlnx，设0

8、b-a)ln2.［课后练习］1.【09天津•文】10.没阑数/(x)在R上的导函数为/(X)，且2/(x)+x/(;v)〉x2,下面的不等式在R上恒成立的足A./(x)>0B./(x)<0C./(%)>xD.f(x).(I)讨论函数/(x)的单调性；(II)证明：若tz<5,则对任意々，七白⑴汁⑺)，x,x2,有几-’⑹〉—!.FI.x,

9、证明：/(叉2)〉^~•4.【2007年山东理】设函数/(x)=x2+Z?ln(x+1)，其中/?关0.(I)当/?〉丄时，判断阑数/(x)在定义域上的单调性；(II)求函数/(X)的极值点；(III)证明对任意的正整数n，不等式lnf+l)〉-^—都成立.5.【2008年湖南理】已知函数/U)=ln2(l+;c).1+X(I)求函数/(X)的单调区间；(II)若不等式(l+l)"+“Se对任意的都成立(K•中e是自然对数的底数).n求tz的最大值.6.山东省日照市2009届髙三模拟考试数学理科试题己知u〉0,函数