2019高考数学专题——与导数有关的构造函数

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1、一．命题陷阱：1.图形考虑不周陷阱；2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）；3.已知条件中含有导函数值而无从下手；4.恒成立中的最值陷阱5.含有导函数的式子中的和差构造陷阱6.与三角函数有关的构造函数7.忽视分母造成解集不完备8.与指数函数对数函数有关的构造二．典例分析及练习（一）图形考虑不周陷阱例1.已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】化简可得=当时，，当0≤x＜1时，，当时，∴在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当x＜0时，＜0，f（x）为减函数，∴函数在（0，+∞）上有一个最大值为

2、，作出函数的草图如图：则方程等价为，要使关于x的方程恰好有4个不相等的实数根，等价为方程有两个不同的根m1＞且0＜m2＜，设，则解得1＜t＜1+，故答案选：C.陷阱预防：这类问题根据已知条件画出函数的图象，利用图象求解时注意切线等特殊位置练习1.已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】画出函数f（x）的图象，练习2.已知函数，关于的不等式只有1个整数解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由得。∴当时，单调递增；当时，单调递减。∴当时，有最大值，且，且时，；时，；故在(0,1)上，，在(1,+∞)上，，

3、作出函数f(x)的图象如下：①当时，由得，解集为(0,1)∪(1,+∞)，所以不等式的整数解有无数多个，不合题意；②当时，由得或。当时，解集为(1,+∞)，有无数个整数解；当时，解集为(0,1)的子集，不含有整数解。故不合题意。综上，选D。【方法规律】函数图象在研究零点个数、解的个数中的应用（1）研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；（2）确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图

4、象交点的横坐标；（3）研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．（二）思维定式陷阱（与等式有关的函数构造）例2.若函数满足，则当时，（）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值【答案】C【解析】由题设知，当时，，可得为常数），又，得C=0所以.故选B.陷阱预防：这类问题在构造函数是，注意逆向思维，构造出的函数的导函数与已知条件相同，或者能够利用已知条件求解.练习1.函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（）A.

5、有极大值无极小值B.有极小值无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【答案】D【解析】将代入可得：则=令则，当时，，当时，，故当时，取最大值0，故恒成立，故恒成立，故既无极大值也无极小值，故选练习2.若函数在上可导，且，则(　)．A.B.C.D.以上都不对【答案】C【方法规律】常用的构造函数有：，构造xf(x)；2xf(x)+x2f′(x)，构造x2f(x)；，构造;，构造；，构造.等等.（三）已知条件中含有导函数值陷阱例3.已知函数在R上可导，且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由可得：，令得，所以令代入原式得：陷阱预防：根据已知条

6、件先求特殊值的导函数值后再求解练习1.若函数在上可导，且，则(　)．A.B.C.D.以上都不对【答案】C练习2.若函数满足，则等于(　　)A.－1B.－2C.2D.0【答案】B【解析】∵，∴，令函数，可得，即函数为奇函数，∴，故选B.（四）恒成立中的最值陷阱例4.已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】画出函数f（x）的图象，由y=可得直线在y轴上的截距为4，若4恒成立，图像恒在分段函数的上方，故故选：D．陷阱预防：恒成立问题中要分清求的是最大值还是最小值练习1.函数在实数集上连续可导，且在上恒成立，则以下不等式一定成立的

7、是（　　）A.B.C.f（-2）＞e3f（1）D.f（-2）＜e3f（1）【答案】A练习2.设函数的导函数为，且在上恒成立，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设函数，则，因为在上恒成立，故当时，恒成立，所以函数在时，单调递减，所以，即成立，故选D.【方法规律】函数恒成立求参的问题，方法一般有：变量分离，转化成函数最值问题；直接构造函数，使函数最值和0比较；分离成两个函数，让其中一个函数在另一个的上方或者下方.（五）含有导函数的式子中的和差构造例5.函数在其定义域内满足，（其中为函数的导函数），，则函数A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大

8、值C.既有