2019高考数学专题——与导数有关的构造函数

2019高考数学专题——与导数有关的构造函数

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1、一.命题陷阱:1.图形考虑不周陷阱;2.思维定式陷阱(与等式有关的构造函数);3.已知条件中含有导函数值而无从下手;4.恒成立中的最值陷阱5.含有导函数的式子中的和差构造陷阱6.与三角函数有关的构造函数7.忽视分母造成解集不完备8.与指数函数对数函数有关的构造二.典例分析及练习(一)图形考虑不周陷阱例1.已知,若关于的方程恰好有4个不相等的实数解,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】C【解析】化简可得=当时,,当0≤x<1时,,当时,∴在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)单调递减;当x<0时,<0,f(x)为减函数,∴函数在(0,+∞)上有一个最大值为

2、,作出函数的草图如图:则方程等价为,要使关于x的方程恰好有4个不相等的实数根,等价为方程有两个不同的根m1>且0<m2<,设,则解得1<t<1+,故答案选:C.陷阱预防:这类问题根据已知条件画出函数的图象,利用图象求解时注意切线等特殊位置练习1.已知函数,若不等式恒成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】画出函数f(x)的图象,练习2.已知函数,关于的不等式只有1个整数解,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由得。∴当时,单调递增;当时,单调递减。∴当时,有最大值,且,且时,;时,;故在(0,1)上,,在(1,+∞)上,,

3、作出函数f(x)的图象如下:①当时,由得,解集为(0,1)∪(1,+∞),所以不等式的整数解有无数多个,不合题意;②当时,由得或。当时,解集为(1,+∞),有无数个整数解;当时,解集为(0,1)的子集,不含有整数解。故不合题意。综上,选D。【方法规律】函数图象在研究零点个数、解的个数中的应用(1)研究两函数图象的交点个数:在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解;(2)确定方程根的个数:当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图

4、象交点的横坐标;(3)研究不等式的解:当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.(二)思维定式陷阱(与等式有关的函数构造)例2.若函数满足,则当时,()A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值【答案】C【解析】由题设知,当时,,可得为常数),又,得C=0所以.故选B.陷阱预防:这类问题在构造函数是,注意逆向思维,构造出的函数的导函数与已知条件相同,或者能够利用已知条件求解.练习1.函数的导函数为,满足,且,则的极值情况为()A.

5、有极大值无极小值B.有极小值无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【答案】D【解析】将代入可得:则=令则,当时,,当时,,故当时,取最大值0,故恒成立,故恒成立,故既无极大值也无极小值,故选练习2.若函数在上可导,且,则( ).A.B.C.D.以上都不对【答案】C【方法规律】常用的构造函数有:,构造xf(x);2xf(x)+x2f′(x),构造x2f(x);,构造;,构造;,构造.等等.(三)已知条件中含有导函数值陷阱例3.已知函数在R上可导,且,则的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由可得:,令得,所以令代入原式得:陷阱预防:根据已知条

6、件先求特殊值的导函数值后再求解练习1.若函数在上可导,且,则( ).A.B.C.D.以上都不对【答案】C练习2.若函数满足,则等于(  )A.-1B.-2C.2D.0【答案】B【解析】∵,∴,令函数,可得,即函数为奇函数,∴,故选B.(四)恒成立中的最值陷阱例4.已知函数,若不等式恒成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】画出函数f(x)的图象,由y=可得直线在y轴上的截距为4,若4恒成立,图像恒在分段函数的上方,故故选:D.陷阱预防:恒成立问题中要分清求的是最大值还是最小值练习1.函数在实数集上连续可导,且在上恒成立,则以下不等式一定成立的

7、是(  )A.B.C.f(-2)>e3f(1)D.f(-2)<e3f(1)【答案】A练习2.设函数的导函数为,且在上恒成立,则,,的大小关系为()A.B.C.D.【答案】D【解析】设函数,则,因为在上恒成立,故当时,恒成立,所以函数在时,单调递减,所以,即成立,故选D.【方法规律】函数恒成立求参的问题,方法一般有:变量分离,转化成函数最值问题;直接构造函数,使函数最值和0比较;分离成两个函数,让其中一个函数在另一个的上方或者下方.(五)含有导函数的式子中的和差构造例5.函数在其定义域内满足,(其中为函数的导函数),,则函数A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大

8、值C.既有

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