2019高考数学专题——和导数有关的构造函数

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1、破解高考命题陷阱与导数有关的构造函数一.命题陷阱：1.图形考虑不周陷阱；2.思维定式陷阴：(与等式有关的构造函数);3.已知条件中含有导函数值而无从下手；4.恒成立中的最值陷阱5.含有导函数的式子中的和差构造陷阱6.与三角函数有关的构造函数7.忽视分母造成解集不完备8.与指数函数对数函数有关的构造二.典例分析及练习(一)图形考虑不周陷阱例1.已知/(x)xe若关于X的方程/2(x)一吋(兀)+刃-1二0恰好有4个不相等的实数解,则实数加的取值范围为()1A.—,2u(2,w)【答案】C【解析】—,x>0,x<01—y当xno时

2、，f(x)=—,当0Wx0,当^>1时，/(x)<0・・・/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)单调递减；当x<0时，f(x)=~<0,f(x)为减函数，IJ1•••函数/(x)=LL在(0,+8)上有一个最大值为/(1)=-,作出函数/(兀)的草图如图:ee设m=f(x)?当时，方程m=f(x)有1个解，e当沪1时，方程m=f(x)有2个解，e当0

3、=0等价为m2-rm+r-l=0,要使关于x的方程严(朗一护⑴+(_]=o恰好有4个不相等的实数根，等价为方程m2+=0有两个不同的根nii>-且01e+t0g(0)“-l〉0(1>1t则<8_=~r/-I<0=>02解得lvtci+丄，e故答案选：C.陷阱预防：这类问题根据已知条件画出函数的图象，利用图象求解时注意切线等特殊位置练习1.已知函数/(x)={/~9,若不等式/(工)54-加恒成立，则实数刃的取值范围/n(x-l),l

4、.[2,4~oo)B.[-2,0)C.[—2,2jD.[0,2【答案】D2x<,【解析】画出函数f(x)={/的图象，/z?(x-l),l—2.=>0<7M<2.故选：D.练习2.已知函数/(x)=—,关于X的不等式/2(兀)_妙(.丫)〉0只有1个整数解，则实数。的取值范围•X是()A.<11>-In2,-ln3B.-In2,-ln3C.-In2,-ln3D.-In2,-ln323.23J<23J〔

5、23丿【答案】D【解析】由/(兀)=竽得/(兀)=三霁。・••当00,/(x)单调递增；当兀>0时,广(x)v0,/(x)单调递减。・••当x=e时，/(x)有最大值，且/(x)max=/(e)=-,e目.X—>+8时,j（X）—>0;X-》0时，X―>—00,f⑴=0；故在(0,1)上，/(x)<0,在(1,+8)上，/(x)>0,作出函数f(x)的图象如下：①当0=0时,由/2(x)-of(x)>0得/(x)h0,解集为(0,l)u(l,+8),所以不等式的整数解有无数多个，不合题意；②当ovO时,

6、由/2(x)-of(x)>0得/(x)>0或/(x)0时，解集为(1,+8),有无数个整数解；当f{x)o得y(x)Ad或y(x)<0,当/(x)<0时，解集为(0,1),不含有整数解；当f(x)>a时，由条件知只有一个整数解。•//(X)在〔0,◎上单调递増，在(&田)上单调递减，而2

7、・

8、定式陷阱(与等式有关的函数构造)例2.若函数/(x)满足a/*(x)-/(x)=xV,/(l)=O,则当x>0时，/(x)()A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值【答案】C【解析】由题设知，当x>0时，[半1]=妙~'(