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1、利用“构造函数”解决抽象函数与导数问题甘肃省会宁县第一中学730700摘要：构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法。所谓“构造函数法”是根据问题题设和题目的结构特征构造辅助函数，将原问题转化为研究辅助函数的性质，凭借辅助函数的性质解决问题的一种方法。近几年各地高考数学试卷中,许多涉及抽象函数与导数的题目都要运用这种方法解决问题，使得这一方法成为一个热点。木文就这一方法的应用做进一步的总结，以期为高中学生提供一定的参考价值。关键词：构造函数抽象函数与导数求导法则一、引言导数在高中数学占有很重要的地位，其求导法则的双向应用也就成为重点考查对象，尤其是逆向应用更能检验学生对公式的
2、全面把握和灵活运用，因此以抽象函数为背景考查导数法则灵活应用的题目应运而生。下面通过几个例子总结构造函数法的应用。二、构造和、差函数成用法则：[f(x)±g(x)]'=f(x)±g'(x)。例1:(2015福建)若定义在R上的函数f(x),满足f(0)=-1，其导函数f(x)满足f(x)>k>l,则下列结论中一定错误的是()。A.f()<B.f()>C.f()<D.f()>解析：由己知条件可得：构造函数g(x)=f(x)-kx。可得g'(x)=f(x)-k〉0，则g(x)在R上单调递增。又>0，则g()&
3、gt;g(0)，故f()->-l,所以f()>，故选C。点评:导函数的正负决定函数的单调性。几种常见的构造和、差函数的方法：对于f'(x)>g'(x)，构造h(x)=f(x)-g(x);对于f'(x)>a，构造g(x)=f(x)-ax。三、构造积函数应用法则：[f(x)g(X)]'=f(X)g(X)+f(X)g'(X)。例2:(2009天津)设函数f(x)在R上的导函数为f'(X)，且2f(x)+xf(x)>x2,下面的不等式在R上恒成立的是()。A.f(x)>OB.f(x)<0C.f(x)>xD.f(x)<x解析：由题
4、可知：构造函数g(x)=x2f(X)，则g'(x)=x[2f(x)+xf(x)]，当x=0吋，由2f(x)+xf(x)>x2得f(x)>O;当x>0时，g'(x)=x[2f(x)+xf(x)]>x3>0,则g(x)在(0,+∞)递增，所以g(x)>g(0)=0,即x2f(x)>O,故f(x)>Oo当x<O吋，g'(x)=x[2f(x)+xf(x)]<x3<0，则g(x)在(-∞,0)递减，所以g(x)>g(0)=0，故f(x)>Oo综上所述，选A。点评：结合导数的运算法则，
5、观察己知条件，构造积函数。几种常见的积函数的构造方法:对于f(x)g(x)+f(x)g'(x)>O(<0),构造F(x)=f(x)g(x);对于xf'(x)+nf(x)>O(<0),构造F(x)=xnf(x)；对于f(x)+f(x)>O(<0),构造F(x)=exf(x)。特别地，注意式子中的“+”号。四、构造商函数应用法则：[]=O例3:(2015新课标二)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>O吋，xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>O成立的x的取值范围是()。A
6、.(-∞,-l)∪(0,1)B.(-1,0)∪(l,+∞)C.(-∞,-l)∪(-1,0)D.(0,1)∪(l,+∞)解析：由题可知：构造函数g(x)=，则g'(x)二。当x>0吋，xf'(x)-f(x)<0,贝ljg'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)递减；又函数f(x)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，则g(x)在(-∞,0)递增，且g(-1)=g(1)=0,所以当0<x<l时，g(x)>0,则f(x)>0；当x<-
7、l时，g(x)<0,则f(x)>0o综上所述，选A。点评：主要观察导数商运算法则等式石侧的分子，构造商函数。几种常见的商函数构造方法：对于f(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(<0),构造函数F(x)=；对于xf'(x)+nf(x)>0(<0)，构造函数F(x)=；对于f'(x)-f(x)>0(<0),构造函数F(x)=。特别地，注意式子中的号。构造函数对于许多高中生来说还是一个难点，在解题过程中要善于观察题设条件与所求结论的结构特征，分析题设与结论间的联系，联想
