构造函数利用导数解决函数问题

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1、构造函数解决不等式问题例：[2011-辽宁卷]函数沧)的定义域为R,夬一1)=2,对任意xeR,f(x)>2,则；U)>2x+4的解集为()A.(—1,1)B.(―1,+°°)C.(—8,—1)D.(—8,十8)【解析】构造函数G(x)=/W—4,所以G‘(x)=/(x)—2,由于对任意用R,/'(x)>2,所以G‘(x)=ff(x)-2>0恒成立，所以G(x)=/x)-2x-4是R上的增函数，又由于G(—1)=A—1)—2X(—1)—4=0,所以G(x)=/U)-2x—4>0,即血:)>"+4的解集为(一1,+8),故选B.训练：1.已

2、知函数歹=/(x)的图象关于y轴对称，且当xe(-oo,0),/(x)+xf,(x)<0成立d=2°-20/(2°-2),b=log,3J/(log;r3),c=log?9J/(log39),则a,b,c的大小关系是()A.b>a>cc>a>bC.c>b>aD.a>c>b解；因为函数y=/(x)关于y轴对称，所以函数y=xf(x)为奇函数.因为[xf(X)Y=f(X)+xfx),所以当XG(-00,0)时,[xf(x)Y=/(x)+xf*(x)<0,函数y=xf(x)单调递减，当xg(0,+oo)时，函数y=xf(x)单调递减.因为1<

3、20-2v2,0vlog”3<1,昭9=2,所以0v1略3v202ci>c,选A.2.已知/(兀)为7?上的可导函数，且Vxg/?,均有/(x)>fx),则有A.e20,7(-2013)e2017(0)B.e20,7(-2013)/(0),/(2013)>e20,3/(0)D.e2017(-2013)>/(0),/(2013)

4、e因为VxgR,均有并且">0,所以g'(x)vO,故函数巩切=但在R上单ex调递减，所以g(—2013)〉g(0),g(20⑶vg(0),即>/(0),/(^3)/(0),/(2013)1}D.{xx>1}r111解:构造新函数F(x)=f(x)则F(l)=/(l)一(_+—)=1-1

5、=0,F,(x)=/，(x)--,对任意xeR9冇F,(x)=/,(x)--<0,即函数F(兀)在R上单调递r1减,则F(x)<0的解集为(1,+00),即/(X)<-4-一的解集为(1,+00),选D.21.[2013•绥化一模]已知函数y=f{x~1)的图象关于点(1,0)对称，且当圧(一r0)时,3〈0成立(其中尸3是的导函数),若(303)-A303),b=(logx3)-Alogn3),c=(log2—)•f(og2—),则h,b,q的大小关系是•()99A.a>l)>cB.c>a>bC.d>b>aD.a>c>b解：因为函数y

6、=f{x-1)的图象关于点(1,0)对称，所以fd)关于(0,0)中心对称为奇函数，所以函数g(x)=^U)为偶函数.又当龙丘(一<-,0)时，ra)(x)<0成立，故g(x)=^)在(一I0)上为减函数.由偶函数的性质得函数在(0,+®)上为增函数,乂logs*>3°-3>logn3>0,所以c>a>b.例：巳知苗数f(x)=—ax2—bx—lnx,其中a,bWR。(I)当a=3,b=-l时，求函数f(x)3的最小值;(II)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为2x-3y-e=0(e=2.71828…为自然对数的底数)，

7、求a,b的值；(III)当a>0,月.a为常数时，若函数h(x)=x[f(x)+lnx]对任意的Xi>X2^4,总有加冲_加勺)〉-1成立,试用a表示出b的取值范围；【知识点】导数的综合应用解：因为/(x)=x2+x-lnx,xe(0,+oo),所以广(兀)=2兀+1—丄=―+<2)令广(兀)=0,得2丄或一1,所以f(x)在0,三上单调递减，在三，+00上单调递增,则f(x)在兀=*处取得最小值为/三=—+ln2；2(2丿11?12(II)因为fx)=-ax-b——，所以/'(£)=—aw-b——=—①,2x3幺3乂因为切点(e,f(

8、e))在直线2x-3y-e=0±,所以切点为e,-,I3丿1Q11所以f(e}=-ae2-be-i=-@f联立解得a=_,b=—_・33ee/?(兀)+X][-「/z(占)+花(III)由题意