构造辅助函数 利用导数解决一类不等式问题

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1、构造辅助函数利用导数解决一类不等式问题不等式问题是高中数学的一个重要内容，构造合适的辅助函数，利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型。这类题目往往没有直接给出具体的函数解析式，需要根据具体的题意，根据导数运算的相关性质，构造出合适的辅助函数，然后以导数为工具研究函数的单调性、最值等，从而找到解决这类问题的途径。题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，需要具体问题具体分析，这里给出几种常用的构造技巧．（一）与一次函数、反比例函数、二次函数等初中所学的三种常见函数相结合②对于不等式xf′(x)－f(x)>0

2、(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；③对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xnf(x)；例（）已知定义域为{x

3、x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)

4、当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，则g(x)也是偶函数，所以g(x)＝g(

5、x

6、)，由g(x)

7、x

8、)

9、(x)≤0，且x>0，f(x)≥0.∴f′(x)≤－，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数．又00(或<0)，构造函数F(x)＝exf(x)；2.对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝；例1．函数f(x)是定义在R上的可导函数，且f(x)>f′(x)对任意x∈R都成立，则下列不等式中成立的是(　　)A．f(

10、2018)>e2018f(0)，f(2018)>ef(2017)B．f(2018)>e2018f(0)，f(2018)ef(2017)D．f(2018)f′(x)，得f′(x)－f(x)<0，所以g′(x)＝＝<0，即函数g(x)＝在R上单调递减．所以<<，即有f(2018)

11、切等三角函数结合1．对于不等式f(x)－f′(x)tanx>0(或<0)，构造函数F(x)＝(sinx≠0)；2．对于不等式f′(x)－f(x)tanx>0(或<0)，构造函数F(x)＝cosxf(x)；3．对于不等式f′(x)＋f(x)tanx>0(或<0)，构造函数F(x)＝(cosx≠0)．例2．已知定义在内的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的x∈，都有f′(x)sinx

12、x)在内为减函数．由f(x)<2fsinx，得<2f＝，即g(x)0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；②对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0)．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x

13、)g(x)<0的解集为(　　)A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：选D　设F(x)＝f(x)g(x)，当x<0时，∵F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，∴F(x)在(－∞，0)上为增函数．又∵F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)